Trigonométrie : cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un réel — Exercices d'application

1. $120 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3}$ ; $225 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{4}$ ; $18 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{10}$.
2. $\dfrac76 \times 180 = 210°$ ; $\dfrac15 \times 180 = 36°$.
3. La longueur d’arc est proportionnelle au rayon : sur un cercle de rayon $1$ elle vaudrait $\dfrac\pi3$, donc sur un cercle de rayon $3$ elle vaut $3 \times \dfrac\pi3 = \pi \approx 3{,}14$ cm.

On ajoute ou retire des multiples de $2\pi$.

1. $\dfrac{13\pi}{4} - 2\pi = \dfrac{5\pi}{4}$, encore trop grand : $\dfrac{5\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{3\pi}{4}$.
2. $-\dfrac{9\pi}{2} + 4\pi = -\dfrac{\pi}{2}$ (point $J'(0\,;\,-1)$).
3. $\dfrac{25\pi}{6} - 4\pi = \dfrac{\pi}{6}$.
4. $7\pi - 6\pi = \pi$ (point $I'(-1\,;\,0)$).

1. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \dfrac19 = \dfrac89$, donc $\sin x = \pm\dfrac{\sqrt8}{3} = \pm\dfrac{2\sqrt2}{3}$. Pour $x \in [-\pi\,;\,0]$, le point image est sous l’axe des abscisses : $\sin x \leqslant 0$. Donc $\sin x = -\dfrac{2\sqrt2}{3}$.
2. $0{,}6^2 + 0{,}7^2 = 0{,}36 + 0{,}49 = 0{,}85 \neq 1$ : c’est impossible, car on aurait $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
3. Le point image est dans le quart en haut à gauche : $\cos x < 0$ et $\sin x > 0$.

1. $A = \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 + \dfrac{\sqrt2}{2} \times \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac34 + \dfrac24 = \dfrac54$. $B = 2 \times \dfrac{\sqrt3}{2} - \sqrt3 \times 1 = 0$.
2. Le point image $M$ de $\dfrac\pi4$ est sur la bissectrice du premier quart de plan ($45°$), donc ses deux coordonnées sont égales : $\cos\dfrac\pi4 = \sin\dfrac\pi4 = s > 0$. Avec $\cos^2 + \sin^2 = 1$ : $2s^2 = 1$, $s = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

1. • $\cos\dfrac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \dfrac\pi4\right) = -\cos\dfrac\pi4 = -\dfrac{\sqrt2}{2}$.
   • $\sin\left(-\dfrac\pi6\right) = -\sin\dfrac\pi6 = -\dfrac12$.
   • $\dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac\pi6$ : $\cos\dfrac{11\pi}{6} = \cos\left(-\dfrac\pi6\right) = \cos\dfrac\pi6 = \dfrac{\sqrt3}{2}$.
   • $\dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac\pi4$ : $\sin\dfrac{7\pi}{4} = \sin\left(-\dfrac\pi4\right) = -\dfrac{\sqrt2}{2}$.
2. $C = -\cos x + \cos x = 0$. $D = -\sin x - \sin x = -2\sin x$.

1. Les points du cercle d’abscisse $\dfrac12$ sont les images de $\dfrac\pi3$ et de $-\dfrac\pi3$ (symétriques par rapport à l’axe des abscisses) : $x = \dfrac\pi3$ ou $x = -\dfrac\pi3$.
2. Les points d’ordonnée $\dfrac{\sqrt2}{2}$ sont les images de $\dfrac\pi4$ et de $\pi - \dfrac\pi4 = \dfrac{3\pi}{4}$ : $x = \dfrac\pi4$ ou $x = \dfrac{3\pi}{4}$.
3. Le seul point d’ordonnée $-1$ est $J'(0\,;\,-1)$, image de $-\dfrac\pi2$ : $x = -\dfrac\pi2$.

1. n = 6 et s = 1 : un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon $1$ est formé de six triangles équilatéraux de côté $1$, son périmètre vaut $6$ et son demi-périmètre $3$.
2. Le polygone est inscrit dans le cercle : chaque côté (un segment) est plus court que l’arc de cercle qu’il sous-tend. Le périmètre du polygone est donc inférieur à celui du cercle, $2\pi$, et le demi-périmètre inférieur à $\pi$.

3. from math import sqrt
   
   def archimede_affiche(etapes):
       n = 6
       s = 1
       for i in range(etapes):
           s = sqrt(2 - sqrt(4 - s**2))
           n = 2 * n
           print(n, n * s / 2)
   
   archimede_affiche(4)