Trigonométrie : cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un réel

Ce que tu sais déjà. Au collège, tu as défini le cosinus et le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle (3e — Trigonométrie), et tu connais le théorème de Pythagore (4e — Pythagore). Tu sais repérer un point dans un repère orthonormé (Seconde — Vecteurs et coordonnées). On va définir cosinus et sinus pour n’importe quel nombre réel.

1. Le radian

Définition. Dans un repère orthonormé $(O\,;\,I,\,J)$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, parcouru dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre).

Définition. Le radian est la mesure de l’angle au centre qui intercepte, sur un cercle de rayon $1$, un arc de longueur $1$. Sur le cercle trigonométrique, la mesure en radians d’un angle est égale à la longueur de l’arc intercepté.

Un tour complet mesure $360°$, et le périmètre du cercle vaut $2\pi$ : donc $360° = 2\pi$ rad et $180° = \pi$ rad. Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles.

Exemples. $150° = 150 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$ rad ; $\dfrac{3\pi}{4}$ rad $= \dfrac34 \times 180° = 135°$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Enroulement de la droite des réels

On imagine une droite graduée, tangente au cercle en $I(1\,;\,0)$, que l’on enroule autour du cercle : les réels positifs dans le sens direct, les réels négatifs dans le sens indirect. Chaque réel $x$ vient alors se placer sur un point $M$ du cercle, appelé point image de $x$ : l’arc $\overset{\frown}{IM}$ mesure $|x|$.

Propriété. Un tour complet mesure $2\pi$ : les réels $x$, $x + 2\pi$, $x - 2\pi$, $x + 4\pi$… ont le même point image. Autrement dit, $x$ et $x + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) sont associés au même point.

Exemples. $\dfrac{\pi}{2}$ a pour image $J(0\,;\,1)$ ; $\pi$ a pour image $I'(-1\,;\,0)$ ; $-\dfrac\pi2$ a pour image $J'(0\,;\,-1)$. Et $\dfrac{17\pi}{3} = \dfrac{18\pi - \pi}{3} = 6\pi - \dfrac\pi3$ a la même image que $-\dfrac\pi3$ (on a retiré trois tours).

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Cosinus et sinus d’un réel

Définition. Soit $x$ un réel et $M$ son point image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de $x$ est l’abscisse de $M$ et le sinus de $x$ est son ordonnée :

$$M(\cos x\,;\,\sin x).$$

Propriétés. Pour tout réel $x$ et tout entier $k$ :

• $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ et $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ ;
• $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$ ;
• $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (où $\cos^2 x$ désigne $(\cos x)^2$).

La dernière relation vient du théorème de Pythagore : $OM = 1$ et $OM^2 = \cos^2 x + \sin^2 x$.

Lien avec le collège. Pour $x \in \left]0\,;\,\dfrac\pi2\right[$, le triangle $OHM$ (où $H$ est le projeté de $M$ sur l’axe des abscisses) est rectangle en $H$, d’hypoténuse $OM = 1$ : $\cos x = \dfrac{OH}{OM} = OH$ et $\sin x = HM$. On retrouve les définitions de 3e.

Exemple. On sait que $\sin x = \dfrac35$ et $x \in \left[\dfrac\pi2\,;\,\pi\right]$. Alors $\cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, donc $\cos x = \dfrac45$ ou $\cos x = -\dfrac45$. Pour $x \in \left[\dfrac\pi2\,;\,\pi\right]$, le point $M$ est à gauche de l’axe des ordonnées : $\cos x \leqslant 0$, donc $\cos x = -\dfrac45$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Valeurs remarquables

Moyen mnémotechnique. Les sinus de $0, \dfrac\pi6, \dfrac\pi4, \dfrac\pi3, \dfrac\pi2$ valent $\dfrac{\sqrt0}{2}, \dfrac{\sqrt1}{2}, \dfrac{\sqrt2}{2}, \dfrac{\sqrt3}{2}, \dfrac{\sqrt4}{2}$ ; les cosinus, la même liste à l’envers.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Angles associés

Les points images de $-x$, $\pi - x$, $\pi + x$, $\dfrac\pi2 - x$ sont les symétriques du point image de $x$ par rapport à des droites ou à l’origine. On en déduit :

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

6. La méthode d’Archimède pour approcher pi

Archimède (IIIᵉ siècle av. J.-C.) encadrait le périmètre du cercle par ceux de polygones réguliers. Pour un cercle de rayon $1$, un hexagone régulier inscrit a des côtés de longueur $1$ (six triangles équilatéraux) : son demi-périmètre, $3$, approche $\pi$. En doublant le nombre de côtés, la longueur $s$ d’un côté devient $\sqrt{2 - \sqrt{4 - s^2}}$ (formule obtenue avec Pythagore).

from math import sqrt

def archimede(etapes):
    n = 6      # nombre de côtés
    s = 1      # longueur d'un côté (hexagone inscrit dans un cercle de rayon 1)
    for i in range(etapes):
        s = sqrt(2 - sqrt(4 - s**2))
        n = 2 * n
    return n * s / 2   # demi-périmètre du polygone

print(archimede(4))   # 96 côtés : affiche 3.14103195089053

Avec $96$ côtés (comme Archimède), on obtient $3{,}141\,0\dots$, déjà proche de $\pi \approx 3{,}141\,59$.

→ S’entraîner : Exercice 7

À retenir.

• $\pi$ rad $= 180°$ ; sur le cercle trigonométrique, mesure en radians = longueur d’arc.
• $M(\cos x\,;\,\sin x)$ ; $x$ et $x + 2k\pi$ ont le même point image.
• $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
• Valeurs remarquables : $\dfrac12$, $\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\dfrac{\sqrt3}{2}$ (démonstrations avec la bissectrice, le triangle équilatéral et $\cos^2 + \sin^2 = 1$).
• Angles associés : symétries du cercle, dessiner pour ne pas se tromper de signe.