Première⏱ 50 minutes

Trigonométrie : cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un réel — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Convertis $90°$ en radians.
Convertis $\dfrac\pi3$ rad en degrés.
Que vaut $\cos 0$ ?
Que vaut $\sin\dfrac\pi2$ ?
Que vaut $\cos\pi$ ?
Simplifie $\sqrt{\dfrac34}$ .
Calcule $\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2$ .
Donne les coordonnées du point image de $\dfrac{3\pi}{2}$ sur le cercle trigonométrique.

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$\dfrac\pi2$ .
$60°$ .
$1$ .
$1$ .
$-1$ .
$\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
$\dfrac24 = \dfrac12$ .
$(0\,;\,-1)$ .

Exercice 2 (5 points) — Démonstration

Soit $M$ le point image de $\dfrac\pi3$ sur le cercle trigonométrique de centre $O$ , et $I(1\,;\,0)$ .

Justifie que le triangle $OIM$ est équilatéral. (2 points)
Déduis-en que $\cos\dfrac\pi3 = \dfrac12$ . (1,5 point)
Déduis-en la valeur exacte de $\sin\dfrac\pi3$ . (1,5 point)

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$OI = OM = 1$ (rayons du cercle) : le triangle $OIM$ est isocèle en $O$ . L'angle $\widehat{IOM}$ mesure $\dfrac\pi3$ rad, soit $60°$ . Les angles à la base sont égaux et valent $\dfrac{180° - 60°}{2} = 60°$ : les trois angles mesurent $60°$ , le triangle est équilatéral.
Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(OI)$ . Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue de $M$ est aussi la médiane : $H$ est le milieu de $[OI]$ , donc $OH = \dfrac12$ . Comme $M$ est dans le premier quart, $\cos\dfrac\pi3 = OH = \dfrac12$ .
$\sin^2\dfrac\pi3 = 1 - \cos^2\dfrac\pi3 = 1 - \dfrac14 = \dfrac34$ . Comme $M$ est au-dessus de l'axe des abscisses, $\sin\dfrac\pi3 > 0$ : $\sin\dfrac\pi3 = \sqrt{\dfrac34} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ .

Exercice 3 (5 points) — Angles associés

Donne la valeur exacte de : $\cos\dfrac{5\pi}{6}$ , $\sin\dfrac{4\pi}{3}$ , $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)$ , $\sin\dfrac{13\pi}{6}$ . (4 points)
Simplifie $E = \sin(\pi - x) - \sin(-x)$ pour tout réel $x$ . (1 point)

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- $\cos\dfrac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \dfrac\pi6\right) = -\cos\dfrac\pi6 = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
- $\sin\dfrac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \dfrac\pi3\right) = -\sin\dfrac\pi3 = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
- $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \dfrac\pi4\right) = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
- $\dfrac{13\pi}{6} = 2\pi + \dfrac\pi6$ : $\sin\dfrac{13\pi}{6} = \sin\dfrac\pi6 = \dfrac12$ .
$E = \sin x - (-\sin x) = 2\sin x$ .

Exercice 4 (4 points) — Relation fondamentale

On sait que $\sin x = -\dfrac45$ et que $x \in \left[\pi\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]$ .

Dans quel quart du cercle se trouve le point image de $x$ ? Quel est le signe de $\cos x$ ? (1,5 point)
Calcule la valeur exacte de $\cos x$ . (2,5 points)

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Pour $x \in \left[\pi\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]$ , le point image est dans le quart en bas à gauche : $\cos x \leqslant 0$ (et $\sin x \leqslant 0$ , ce qui est cohérent avec $\sin x = -\dfrac45$ ).
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$ , donc $\cos x = \dfrac35$ ou $-\dfrac35$ . Comme $\cos x \leqslant 0$ : $\cos x = -\dfrac35$ .

Exercice 5 (2 points) — Lecture sur le cercle

Trouve tous les réels $x$ de $]-\pi\,;\,\pi]$ tels que $\cos x = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

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Les points du cercle d'abscisse $-\dfrac{\sqrt2}{2}$ sont les images de $\pi - \dfrac\pi4 = \dfrac{3\pi}{4}$ et de son opposé $-\dfrac{3\pi}{4}$ (symétriques par rapport à l'axe des abscisses). Solutions : $x = \dfrac{3\pi}{4}$ ou $x = -\dfrac{3\pi}{4}$ .