Première

Suites numériques : générer, représenter, étudier les variations — Exercices d'application

1. Notion de suite numérique

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Exercice 1 — ⭐

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 3n - 1$ .

Calcule $u_0$ et $u_5$ .
Quel est le 10ᵉ terme de la suite ? Donne sa valeur.
Exprime en fonction de $n$ : $u_{n+1}$ , $u_n + 1$ et $u_{n-1}$ (pour $n \geqslant 1$ ).

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$u_0 = 3 \times 0 - 1 = -1$ et $u_5 = 15 - 1 = 14$ .
La suite commence à $u_0$ : le 10ᵉ terme est $u_9 = 27 - 1 = 26$ .
- $u_{n+1} = 3(n + 1) - 1 = 3n + 2$ (on remplace $n$ par $n + 1$ ) ;
- $u_n + 1 = (3n - 1) + 1 = 3n$ (on ajoute $1$ au terme) ;
- $u_{n-1} = 3(n - 1) - 1 = 3n - 4$ .
On voit bien que $u_{n+1} \neq u_n + 1$ .

2. Suite définie de façon explicite

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Exercice 2 — ⭐

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 2n^2 - n + 1$ .

Calcule $u_0$ , $u_3$ et $u_{10}$ .
Exprime $u_{n+1}$ puis $u_{2n}$ en fonction de $n$ , sous forme développée et réduite.

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$u_0 = 1$ ; $u_3 = 18 - 3 + 1 = 16$ ; $u_{10} = 200 - 10 + 1 = 191$ .
$u_{n+1} = 2(n + 1)^2 - (n + 1) + 1 = 2n^2 + 4n + 2 - n - 1 + 1 = 2n^2 + 3n + 2$ .

$u_{2n} = 2(2n)^2 - 2n + 1 = 8n^2 - 2n + 1$ .

3. Suite définie par récurrence

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Exercice 3 — ⭐⭐

Soit $(a_n)$ définie par $a_0 = 10$ et $a_{n+1} = 0{,}5\,a_n + 3$ . Calcule $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ et $a_4$ .
Soit $(w_n)$ définie par $w_1 = 3$ et $w_{n+1} = w_n^2 - 2$ pour $n \geqslant 1$ . Calcule $w_2$ , $w_3$ , $w_4$ .
Soit $(b_n)$ définie par $b_0 = -2$ et $b_{n+1} = 4 - b_n$ . Calcule les premiers termes. Que remarques-tu ? Donne $b_{100}$ et $b_{101}$ .

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$a_1 = 5 + 3 = 8$ ; $a_2 = 4 + 3 = 7$ ; $a_3 = 3{,}5 + 3 = 6{,}5$ ; $a_4 = 3{,}25 + 3 = 6{,}25$ .
$w_2 = 9 - 2 = 7$ ; $w_3 = 49 - 2 = 47$ ; $w_4 = 2\,209 - 2 = 2\,207$ .
$b_1 = 4 - (-2) = 6$ ; $b_2 = 4 - 6 = -2$ ; $b_3 = 6$ … Les termes valent alternativement $-2$ (indices pairs) et $6$ (indices impairs). Donc $b_{100} = -2$ et $b_{101} = 6$ .

Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Une chaîne vidéo compte $2\,000$ abonnés au 1ᵉʳ janvier. Chaque mois, $10\,\%$ des abonnés se désabonnent et $300$ nouvelles personnes s’abonnent. On note $a_n$ le nombre d’abonnés au bout de $n$ mois ; ainsi $a_0 = 2\,000$ .

Calcule $a_1$ et $a_2$ .
Justifie que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n+1} = 0{,}9\,a_n + 300$ .

Complète la fonction Python suivante pour qu’elle renvoie

a_n

:

def abonnes(n):
    a = ...
    for i in range(...):
        a = ...
    return a

On admet que $a_6 \approx 2\,468{,}6$ et $a_7 \approx 2\,521{,}7$ . Au bout de combien de mois la chaîne dépasse-t-elle $2\,500$ abonnés ?

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Garder $90\,\%$ revient à multiplier par $0{,}9$ : $a_1 = 0{,}9 \times 2\,000 + 300 = 2\,100$ et $a_2 = 0{,}9 \times 2\,100 + 300 = 2\,190$ .
D’un mois au suivant, on garde $90\,\%$ des $a_n$ abonnés, soit $0{,}9\,a_n$ , puis on ajoute les $300$ nouveaux : $a_{n+1} = 0{,}9\,a_n + 300$ .

def abonnes(n):
    a = 2000
    for i in range(n):
        a = 0.9 * a + 300
    return a

$a_6 < 2\,500 < a_7$ : la chaîne dépasse $2\,500$ abonnés au bout de 7 mois.

4. Représentation graphique

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Exercice 5 — ⭐

Soit $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 - n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Calcule $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , $u_4$ et place les points correspondants dans un repère.
Les points $A(4\,;\,12)$ , $B(5\,;\,19)$ et $C(2{,}5\,;\,3{,}75)$ appartiennent-ils à la représentation graphique de la suite ? Justifie.

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$u_0 = 0$ , $u_1 = 0$ , $u_2 = 2$ , $u_3 = 6$ , $u_4 = 12$ : on place les points $(0\,;\,0)$ , $(1\,;\,0)$ , $(2\,;\,2)$ , $(3\,;\,6)$ , $(4\,;\,12)$ , sans les relier.
- $A$ : $u_4 = 12$ , donc $A$ appartient à la représentation.
- $B$ : $u_5 = 25 - 5 = 20 \neq 19$ , donc $B$ n’y appartient pas.
- $C$ : son abscisse $2{,}5$ n’est pas un entier, donc $C$ n’y appartient pas (même si $2{,}5^2 - 2{,}5 = 3{,}75$ : $C$ est sur la courbe de $x \mapsto x^2 - x$ , pas sur le nuage de la suite).

5. Sens de variation d’une suite

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Exercice 6 — ⭐⭐

Étudie le sens de variation de chaque suite en étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$ .

$u_n = n^2 + n - 5$ pour $n \in \mathbb{N}$ .
$v_0 = 4$ et $v_{n+1} = v_n - n^2 - 1$ .
$w_n = 5n - n^2$ pour $n \in \mathbb{N}$ . La suite $(w_n)$ est-elle monotone ?

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$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + (n+1) - 5 - (n^2 + n - 5) = 2n + 2 > 0$ : $(u_n)$ est strictement croissante.
$v_{n+1} - v_n = -n^2 - 1 < 0$ pour tout $n$ : $(v_n)$ est strictement décroissante.
$w_{n+1} - w_n = 5(n+1) - (n+1)^2 - 5n + n^2 = 5 - 2n - 1 = 4 - 2n$ $w_{n + 1} - w_{n} = 5 (n + 1) - (n + 1)^{2} - 5 n + n^{2} = 5 - 2 n - 1 = 4 - 2 n$ .
- Pour $n \geqslant 2$ , $4 - 2n \leqslant 0$ : $(w_n)$ est décroissante à partir du rang 2.
- Mais $w_1 - w_0 = 4 > 0$ (on a $w_0 = 0$ et $w_1 = 4$ ) alors que $w_4 - w_3 = -2 < 0$ ( $w_3 = 6$ , $w_4 = 4$ ) : elle n’est ni croissante ni décroissante sur $\mathbb{N}$ tout entier. Elle n’est pas monotone (deux contre-exemples suffisent à le prouver).

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Choisis la méthode la plus adaptée pour étudier le sens de variation de chaque suite.

$t_n = 3 \times 1{,}05^n$ .
$r_n = \dfrac{1}{n^2 + 1}$ .
$s_n = \dfrac{2^n}{n + 1}$ (on pourra comparer $\dfrac{s_{n+1}}{s_n}$ à $1$ ).

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Tous les termes sont strictement positifs et $\dfrac{t_{n+1}}{t_n} = \dfrac{3 \times 1{,}05^{n+1}}{3 \times 1{,}05^n} = 1{,}05 > 1$ : $(t_n)$ est strictement croissante.
$r_n = f(n)$ avec $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ . Sur $[0\,;\,+\infty[$ , $x \mapsto x^2 + 1$ est croissante et strictement positive, donc son inverse est décroissante : $(r_n)$ est décroissante.
$s_n > 0$ et $\dfrac{s_{n+1}}{s_n} = \dfrac{2^{n+1}}{n + 2} \times \dfrac{n + 1}{2^n} = \dfrac{2(n+1)}{n+2}$ . Or $\dfrac{2(n+1)}{n+2} \geqslant 1 \iff 2n + 2 \geqslant n + 2 \iff n \geqslant 0$ , ce qui est toujours vrai : $(s_n)$ est croissante. (Elle n’est pas strictement croissante au départ : $s_0 = s_1 = 1$ .)

6. Chercher un rang avec un algorithme

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Exercice 8 — ⭐⭐⭐⭐

On considère la suite définie par $h_0 = 0$ et $h_{n+1} = h_n + \dfrac{1}{n+1}$ .

Calcule $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ . Quel est le sens de variation de $(h_n)$ ?

Voici un programme :

def rang(seuil):
    n = 0
    h = 0
    while h <= seuil:
        n = n + 1
        h = h + 1 / n
    return n

Explique pourquoi, à chaque passage dans la boucle, la variable h contient

h_n

.

rang(3) renvoie 11. Interprète ce résultat.
La suite augmente de moins en moins vite. On admet qu’elle finit par dépasser n’importe quel nombre. Pourquoi cette information est-elle indispensable avant d’exécuter rang(20) ?

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$h_1 = 1$ ; $h_2 = 1 + \dfrac12 = \dfrac32$ ; $h_3 = \dfrac32 + \dfrac13 = \dfrac{11}{6}$ . $h_{n+1} - h_n = \dfrac{1}{n+1} > 0$ : la suite est strictement croissante.
On augmente d’abord n de 1, puis on ajoute 1/n : si h contenait $h_{n-1}$ , il contient maintenant $h_{n-1} + \dfrac1n = h_n$ (relation de récurrence écrite au rang $n - 1$ ). Au départ, n = 0 et h = 0 $= h_0$ .
$11$ est le plus petit indice $n$ tel que $h_n > 3$ : $h_{10} \leqslant 3$ et $h_{11} > 3$ (on trouve $h_{10} \approx 2{,}93$ et $h_{11} \approx 3{,}02$ ).
Une boucle while ne s’arrête que lorsque la condition devient fausse. Si la suite ne dépassait jamais $20$ , le programme tournerait indéfiniment. Ici on admet qu’elle dépasse tout nombre, donc le programme finit par s’arrêter — mais après un très grand nombre de tours (plusieurs centaines de millions pour $20$ !).