Suites numériques : générer, représenter, étudier les variations

Ce que tu sais déjà. Une fonction associe à chaque réel $x$ de son ensemble de définition une image $f(x)$, que l’on peut représenter par une courbe (Seconde — Généralités sur les fonctions). Tu sais ce qu’est une fonction croissante ou décroissante (Seconde — Variations et extremums) et tu sais écrire une boucle for en Python (Seconde — Python). Une suite, c’est une « fonction des entiers » : on ne regarde plus que les valeurs en $0, 1, 2, 3\dots$

1. Notion de suite numérique

Définition. Une suite numérique $u$ associe à chaque entier naturel $n$ (éventuellement à partir d’un certain rang) un nombre réel noté $u_n$ (lire « $u$ indice $n$ »).

• $n$ est l’indice (ou le rang) ; $u_n$ est le terme d’indice $n$.
• La suite elle-même se note $u$ ou $(u_n)$ ; $u_n$ est un nombre.
• Les termes se suivent : $u_0$, $u_1$, $u_2$, … Le terme qui suit $u_n$ est $u_{n+1}$, celui qui le précède est $u_{n-1}$ (pour $n \geqslant 1$).

Piège classique. $u_{n+1}$ et $u_n + 1$ n’ont rien à voir :

• $u_{n+1}$ est le terme suivant (on change l’indice) ;
• $u_n + 1$ est le terme $u_n$ augmenté de 1 (on change la valeur).

Exemple. Si $u_n = n^2$, alors $u_{n+1} = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$, alors que $u_n + 1 = n^2 + 1$. Pour $n = 3$ : $u_4 = 16$ mais $u_3 + 1 = 10$.

Remarque (compter les termes). Si la suite commence à $u_0$, le 10ᵉ terme est $u_9$. Si elle commence à $u_1$, le 10ᵉ terme est $u_{10}$. Toujours regarder le premier indice avant de compter.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Suite définie de façon explicite

Définition. Une suite est définie de façon explicite quand on dispose d’une formule qui donne directement $u_n$ en fonction de $n$ : $u_n = f(n)$, où $f$ est une fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$.

Avantage : on calcule n’importe quel terme directement, sans connaître les précédents.

Exemple. $u_n = n^2 - 3n$ pour tout entier naturel $n$. $u_0 = 0$, $u_1 = 1 - 3 = -2$, $u_2 = 4 - 6 = -2$, $u_3 = 9 - 9 = 0$ et, directement, $u_{10} = 100 - 30 = 70$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Suite définie par récurrence

Définition. Une suite est définie par récurrence quand on donne :

1. son premier terme (par exemple $u_0$) ;
2. une relation de récurrence qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent : $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$.

Exemple. $u_0 = 5$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2u_n - 3$. $u_1 = 2 \times 5 - 3 = 7$, $u_2 = 2 \times 7 - 3 = 11$, $u_3 = 2 \times 11 - 3 = 19$, $u_4 = 35$… Pour obtenir $u_{50}$, il faut calculer les 49 termes précédents : c’est le travail d’un programme.

Remarque. La relation peut aussi faire intervenir $n$ : par exemple $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = v_n + 2n + 1$. On obtient $v_1 = 1 + 1 = 2$, $v_2 = 2 + 3 = 5$, $v_3 = 5 + 5 = 10$.

Modéliser par une suite. Beaucoup de situations « étape par étape » se décrivent par une relation de récurrence.

Exemple (motif). On aligne des carrés faits d’allumettes. On note $a_n$ le nombre d’allumettes pour $n$ carrés ($n \geqslant 1$). Chaque nouveau carré partage un côté avec le précédent : $a_1 = 4$ et $a_{n+1} = a_n + 3$ (définition par récurrence). En comptant autrement — une allumette à gauche, puis 3 par carré — on trouve aussi $a_n = 3n + 1$ (définition explicite). Vérification : $a_1 = 4$, $a_2 = 7$, $a_3 = 10$. ✓

Calculer des termes en Python. Une boucle for répète la relation de récurrence.

def terme(n):
    """Renvoie u_n pour u_0 = 5 et u_(n+1) = 2*u_n - 3."""
    u = 5
    for i in range(n):
        u = 2 * u - 3
    return u

print(terme(3))   # affiche 19

Pour obtenir la liste des premiers termes, on ajoute chaque terme calculé à une liste avec append :

def premiers_termes(n):
    """Renvoie la liste [u_0, u_1, ..., u_n]."""
    L = [5]
    for i in range(n):
        L.append(2 * L[-1] - 3)   # L[-1] est le dernier terme de la liste
    return L

print(premiers_termes(5))   # affiche [5, 7, 11, 19, 35, 67]

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Représentation graphique

Définition. Dans un repère, la représentation graphique d’une suite $(u_n)$ est l’ensemble des points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$. C’est un nuage de points isolés : on ne les relie pas, car la suite n’est pas définie entre deux entiers.

Remarque. Quand $u_n = f(n)$, les points de la suite sont sur la courbe de $f$. Mais la courbe de $f$ contient beaucoup plus de points : ne pas confondre les deux représentations.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Sens de variation d’une suite

Définitions. Soit $(u_n)$ une suite définie à partir du rang $0$.

• $(u_n)$ est croissante si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} \geqslant u_n$ ;
• $(u_n)$ est décroissante si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} \leqslant u_n$ ;
• $(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante ;
• on parle de suite strictement croissante (décroissante) avec des inégalités strictes.

On peut aussi dire qu’une suite est croissante à partir d’un certain rang $n_0$ si $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour tout $n \geqslant n_0$.

Remarque (logique). « Pour tout $n$ » est un quantificateur universel : pour prouver qu’une suite n’est pas croissante, il suffit d’un contre-exemple, c’est-à-dire un indice $n$ tel que $u_{n+1} < u_n$. En revanche, calculer quelques termes croissants ne prouve jamais que la suite est croissante.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

6. Chercher un rang avec un algorithme

Une boucle while permet de trouver le premier rang à partir duquel une suite dépasse un seuil.

def premier_rang(seuil):
    """Plus petit n tel que u_n > seuil, pour u_0 = 5 et u_(n+1) = 2*u_n - 3."""
    n = 0
    u = 5
    while u <= seuil:
        u = 2 * u - 3
        n = n + 1
    return n

print(premier_rang(1000))   # affiche 9

En effet $u_8 = 2 \times 259 - 3 = 515$ et $u_9 = 2 \times 515 - 3 = 1\,027$ : le premier terme qui dépasse $1\,000$ est $u_9$.

Attention. Une telle boucle ne s’arrête que si la suite finit vraiment par dépasser le seuil : avant de la lancer, il faut s’en assurer (par exemple parce que la suite est croissante et « tend vers l’infini » — voir le chapitre suivant).

→ S’entraîner : Exercice 8

À retenir.

• $u_n$ est un nombre, $n$ un entier ; $u_{n+1} \neq u_n + 1$.
• Explicite : $u_n = f(n)$ (calcul direct). Récurrence : premier terme + $u_{n+1} = f(u_n)$ (calcul de proche en proche, idéal en Python).
• Représentation : nuage de points $(n\,;\,u_n)$, non reliés.
• Variations : signe de $u_{n+1} - u_n$ (toujours possible), fonction associée (suite explicite), quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ comparé à $1$ (termes strictement positifs).