Première⏱ 50 minutes

Suites numériques : générer, représenter, étudier les variations — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet (comme à l'épreuve anticipée de fin de Première).

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Calcule $20\,\%$ de $350$ .
Développe $(n + 1)^2$ .
$u_n = 5 - 2n$ . Calcule $u_3$ .
$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n$ . Calcule $u_2$ .
Par quel nombre multiplie-t-on une quantité qui augmente de $5\,\%$ ?
Résous $2x - 7 > 0$ .
Quel est le signe de $n^2 + 1$ ?
Calcule $\dfrac34 + \dfrac16$ .

Voir le corrigé

$0{,}2 \times 350 = 70$ .
$(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$ .
$u_3 = 5 - 6 = -1$ .
$u_1 = 6$ , $u_2 = 18$ .
Par $1{,}05$ .
$x > 3{,}5$ , soit $x \in \,]3{,}5\,;\,+\infty[$ .
Strictement positif (un carré est positif, on ajoute $1$ ).
$\dfrac{9}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{11}{12}$ .

Exercice 2 (4 points) — Suite explicite

Soit $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = n^2 - 6n + 10$ .

Calcule $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ . (1 point)
Montre que $u_{n+1} - u_n = 2n - 5$ . (1,5 point)
Déduis-en le sens de variation de la suite à partir d'un rang que tu préciseras. La suite est-elle monotone sur $\mathbb{N}$ ? (1,5 point)

Voir le corrigé

$u_0 = 10$ , $u_1 = 5$ , $u_2 = 2$ , $u_3 = 1$ , $u_4 = 2$ .
$u_{n+1} = (n+1)^2 - 6(n+1) + 10 = n^2 + 2n + 1 - 6n - 6 + 10 = n^2 - 4n + 5$ , donc $u_{n+1} - u_n = (n^2 - 4n + 5) - (n^2 - 6n + 10) = 2n - 5$ .
$2n - 5 > 0 \iff n > 2{,}5$ , soit $n \geqslant 3$ pour un entier. La suite est donc strictement croissante à partir du rang 3. Elle n'est pas monotone sur $\mathbb{N}$ : $u_1 < u_0$ mais $u_4 > u_3$ .

Exercice 3 (4 points) — Suite définie par récurrence

Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $v_{n+1} = v_n + 2n + 3$ .

Calcule $v_1$ , $v_2$ et $v_3$ . Quelle formule explicite peux-tu conjecturer ? (1,5 point)
Démontre que la suite $(v_n)$ est strictement croissante. (1 point)
Vérifie que la suite définie par $w_n = (n + 1)^2$ vérifie $w_0 = 1$ et $w_{n+1} = w_n + 2n + 3$ . (1,5 point)

Voir le corrigé

$v_1 = 1 + 0 + 3 = 4$ ; $v_2 = 4 + 2 + 3 = 9$ ; $v_3 = 9 + 4 + 3 = 16$ . On conjecture $v_n = (n + 1)^2$ .
$v_{n+1} - v_n = 2n + 3 > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $(v_n)$ est strictement croissante.
$w_0 = (0 + 1)^2 = 1$ . Et $w_{n+1} - w_n = (n + 2)^2 - (n + 1)^2 = (n^2 + 4n + 4) - (n^2 + 2n + 1) = 2n + 3$ , donc $w_{n+1} = w_n + 2n + 3$ . La suite $(w_n)$ a le même premier terme et la même relation de récurrence que $(v_n)$ : elles ont donc les mêmes termes, ce qui confirme la conjecture.

Exercice 4 (4 points) — Modélisation et algorithme

Un étang contient $800$ poissons. Chaque année, la population augmente de $15\,\%$ grâce à la reproduction, puis on en pêche $100$ . On note $p_n$ le nombre de poissons au bout de $n$ années ( $p_0 = 800$ ).

Calcule $p_1$ et $p_2$ . (1 point)
Exprime $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ . (1 point)
On donne le programme suivant :
```
def annee():
    p = 800
    n = 0
    while p <= 1000:
        p = 1.15 * p - 100
        n = n + 1
    return n
```
Que représente la valeur renvoyée par annee() ? On donne $p_6 \approx 975$ $p_{6} \approx 975$ et $p_7 \approx 1\,021$ $p_{7} \approx 1021$ : quelle valeur est renvoyée ? (2 points)

Voir le corrigé

$p_1 = 1{,}15 \times 800 - 100 = 920 - 100 = 820$ ; $p_2 = 1{,}15 \times 820 - 100 = 943 - 100 = 843$ .
Augmenter de $15\,\%$ revient à multiplier par $1{,}15$ , puis on retire $100$ : $p_{n+1} = 1{,}15\,p_n - 100$ .
La boucle continue tant que $p \leqslant 1\,000$ : elle s'arrête au premier rang où la population dépasse $1\,000$ poissons, et renvoie ce rang. Comme $p_6 \leqslant 1\,000 < p_7$ , annee() renvoie 7 : c'est au bout de 7 ans que l'étang compte plus de $1\,000$ poissons.

Exercice 5 (4 points) — Choisir sa méthode

Soit $t_n = 4 \times 0{,}9^n$ pour $n \in \mathbb{N}$ . Étudie le sens de variation de $(t_n)$ . (1,5 point)
Soit $s_n = \dfrac{3^n}{n}$ pour $n \geqslant 1$ . Montre que $\dfrac{s_{n+1}}{s_n} = \dfrac{3n}{n + 1}$ , puis étudie le sens de variation de $(s_n)$ . (2,5 points)

Voir le corrigé

$t_n > 0$ et $\dfrac{t_{n+1}}{t_n} = 0{,}9 < 1$ , donc $(t_n)$ est strictement décroissante.
$s_n > 0$ et $\dfrac{s_{n+1}}{s_n} = \dfrac{3^{n+1}}{n+1} \times \dfrac{n}{3^n} = \dfrac{3n}{n+1}$ . Or $\dfrac{3n}{n+1} > 1 \iff 3n > n + 1 \iff n > \dfrac12$ , ce qui est vrai pour tout $n \geqslant 1$ . Donc $(s_n)$ est strictement croissante (vérification : $s_1 = 3$ , $s_2 = 4{,}5$ , $s_3 = 9$ ).