Première

Suites arithmétiques et géométriques, sommes et limites — Exercices d'application

1. Suites arithmétiques

Exercice 1 — ⭐

Pour chaque suite, dis si elle est arithmétique. Si oui, donne sa raison, son premier terme, son terme général et son sens de variation.

$u_n = 4n - 9$ pour $n \in \mathbb{N}$ ; calcule aussi $u_{50}$ .
$v_n = n^2 + 1$ pour $n \in \mathbb{N}$ .
$w_0 = 2$ et $w_{n+1} = w_n - 1{,}5$ ; calcule aussi $w_{20}$ .

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$u_{n+1} - u_n = 4(n + 1) - 9 - (4n - 9) = 4$ : arithmétique de raison $4$ , $u_0 = -9$ , $u_n = -9 + 4n$ , croissante ( $r > 0$ ). $u_{50} = 200 - 9 = 191$ .
$v_0 = 1$ , $v_1 = 2$ , $v_2 = 5$ : $v_1 - v_0 = 1$ mais $v_2 - v_1 = 3$ . La différence n’est pas constante : $(v_n)$ n’est pas arithmétique (un contre-exemple suffit).
Arithmétique de raison $-1{,}5$ et de premier terme $2$ : $w_n = 2 - 1{,}5n$ , décroissante. $w_{20} = 2 - 30 = -28$ .

Exercice 2 — ⭐⭐

$(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_3 = 17$ et $u_{10} = -4$ .

Détermine sa raison $r$ et son premier terme $u_0$ .
Exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
Existe-t-il un rang $n$ tel que $u_n = -100$ ? tel que $u_n = 0$ ?

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$u_{10} = u_3 + 7r$ , donc $-4 = 17 + 7r$ , $7r = -21$ , $r = -3$ . Puis $u_0 = u_3 - 3r = 17 + 9 = 26$ .
$u_n = 26 - 3n$ .
$26 - 3n = -100 \iff 3n = 126 \iff n = 42$ : oui, $u_{42} = -100$ . $26 - 3n = 0 \iff n = \dfrac{26}{3}$ , qui n’est pas un entier : aucun terme n’est nul.

2. Suites géométriques

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Exercice 3 — ⭐

$(a_n)$ est géométrique de premier terme $a_0 = 800$ et de raison $0{,}75$ . Donne $a_n$ en fonction de $n$ , calcule $a_3$ et donne le sens de variation.
La suite $b_n = \dfrac{5^n}{3}$ est-elle géométrique ?
La suite $c_n = 2^n + 1$ est-elle géométrique ?

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$a_n = 800 \times 0{,}75^n$ ; $a_3 = 800 \times 0{,}421\,875 = 337{,}5$ . Comme $a_0 > 0$ et $0 < 0{,}75 < 1$ , la suite est décroissante.
$b_n > 0$ et $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{5^{n+1}}{3} \times \dfrac{3}{5^n} = 5$ : géométrique de raison $5$ et de premier terme $b_0 = \dfrac13$ .
$c_0 = 2$ , $c_1 = 3$ , $c_2 = 5$ : $\dfrac{c_1}{c_0} = 1{,}5$ mais $\dfrac{c_2}{c_1} = \dfrac53 \neq 1{,}5$ : pas géométrique.

Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Deux villes comptent chacune $42\,000$ habitants en 2026. La ville A perd $1{,}5\,\%$ de ses habitants chaque année ; la ville B perd $600$ habitants chaque année. On note $A_n$ et $B_n$ leurs populations en $2026 + n$ .

Exprime $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$ en précisant la nature de chaque suite.
Calcule $A_1$ et $B_1$ . Quelle ville a le moins d’habitants en 2027 ?
On donne $A_{10} \approx 36\,109$ . Quelle ville a le moins d’habitants en 2036 ?
Selon ces modèles, la ville B finira-t-elle par ne plus avoir d’habitants ? Et la ville A ? Commente.

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Perdre $1{,}5\,\%$ revient à multiplier par $0{,}985$ : $(A_n)$ est géométrique de raison $0{,}985$ , $A_n = 42\,000 \times 0{,}985^n$ . $(B_n)$ est arithmétique de raison $-600$ : $B_n = 42\,000 - 600n$ .
$A_1 = 42\,000 \times 0{,}985 = 41\,370$ et $B_1 = 41\,400$ : en 2027, c’est A qui a le moins d’habitants (elle perd $630$ habitants la première année, contre $600$ pour B).
$B_{10} = 42\,000 - 6\,000 = 36\,000 < A_{10}$ : en 2036, c’est B. En effet, la perte de A ( $1{,}5\,\%$ d’une population qui diminue) devient chaque année plus petite, alors que B perd toujours $600$ habitants.
$B_n = 0 \iff n = 70$ : le modèle linéaire prévoit une ville vide en 2096. $A_n$ reste toujours strictement positif (produit de nombres positifs) : il tend vers $0$ sans jamais l’atteindre. Bien sûr, aucun de ces modèles n’est réaliste sur 70 ans.

3. Sommes de termes consécutifs

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Exercice 5 — ⭐⭐

Calcule les sommes suivantes.

$S_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + 200$ .
$S_2 = 1 + 3 + 5 + \dots + 99$ (somme des nombres impairs inférieurs à $100$ ).
$S_3 = 5 + 8 + 11 + \dots + 302$ .

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$S_1 = \dfrac{200 \times 201}{2} = 20\,100$ .
Termes d’une suite arithmétique de raison $2$ : $99 = 1 + 2 \times 49$ , donc $50$ termes. $S_2 = 50 \times \dfrac{1 + 99}{2} = 2\,500$ .
Raison $3$ : $302 = 5 + 3 \times 99$ , donc $100$ termes. $S_3 = 100 \times \dfrac{5 + 302}{2} = 15\,350$ .

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Calcule $1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^8$ .
La légende de l’échiquier. On pose $1$ grain de riz sur la première case d’un échiquier, $2$ sur la deuxième, $4$ sur la troisième, et ainsi de suite en doublant jusqu’à la 64ᵉ case. Exprime le nombre total de grains sous la forme $2^k - 1$ .
Montre que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $1 + 0{,}5 + 0{,}5^2 + \dots + 0{,}5^n = 2 - 0{,}5^n$ . Que peut-on conjecturer quand $n$ devient grand ?

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$\dfrac{1 - 3^9}{1 - 3} = \dfrac{3^9 - 1}{2} = \dfrac{19\,683 - 1}{2} = 9\,841$ .
La case $k$ contient $2^{k-1}$ grains. Total : $1 + 2 + \dots + 2^{63} = \dfrac{1 - 2^{64}}{1 - 2} = 2^{64} - 1$ (environ $1{,}8 \times 10^{19}$ grains).
$\dfrac{1 - 0{,}5^{n+1}}{1 - 0{,}5} = \dfrac{1 - 0{,}5^{n+1}}{0{,}5} = 2 - \dfrac{0{,}5^{n+1}}{0{,}5} = 2 - 0{,}5^n$ . Comme $0{,}5^n$ tend vers $0$ , on conjecture que la somme tend vers $2$ (sans jamais l’atteindre).

4. Comportement quand n devient grand

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Exercice 7 — ⭐⭐

Conjecture le comportement de chaque suite quand $n$ devient grand (limite finie, infinie, ou pas de limite), en justifiant brièvement.

$u_n = 5 - \dfrac{2}{n + 1}$
$v_n = 100 \times 0{,}9^n$
$w_n = (-1)^n + \dfrac{1}{n}$ pour $n \geqslant 1$
$t_n = 1{,}05^n$
$s_n = 4 - 3n$

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$\dfrac{2}{n+1}$ devient aussi petit qu’on veut : $u_n$ tend vers $5$ .
$0 < 0{,}9 < 1$ donc $0{,}9^n$ tend vers $0$ : $v_n$ tend vers $0$ .
Pour $n$ pair, $w_n = 1 + \dfrac1n$ est proche de $1$ ; pour $n$ impair, $w_n = -1 + \dfrac1n$ est proche de $-1$ . Les termes ne se rapprochent d’aucun nombre : pas de limite.
$1{,}05 > 1$ : $t_n$ tend vers $+\infty$ .
Suite arithmétique de raison $-3 < 0$ : $s_n$ tend vers $-\infty$ .

5. Modéliser et chercher un seuil

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Exercice 8 — ⭐⭐⭐

Un abonnement coûte $20$ € par mois en 2026 et son prix augmente de $3\,\%$ par an.

On note $p_n$ le prix mensuel en $2026 + n$ . Exprime $p_n$ en fonction de $n$ .

Complète la fonction suivante pour qu’elle renvoie la première année (sous la forme d’un nombre

n

) où le prix dépasse

30

€ :

def seuil():
    n = 0
    p = 20
    while ...:
        p = ...
        n = n + 1
    return n

On obtient 14. Interprète ce résultat.

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$p_n = 20 \times 1{,}03^n$ (suite géométrique de raison $1{,}03$ ).

def seuil():
    n = 0
    p = 20
    while p <= 30:
        p = p * 1.03
        n = n + 1
    return n

$p_{13} \approx 29{,}37$ € et $p_{14} \approx 30{,}25$ € : le prix dépasse $30$ € pour la première fois en $2026 + 14 = 2040$ .

Exercice 9 — ⭐⭐⭐⭐

On considère la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 4$ . Elle n’est ni arithmétique ni géométrique. On pose, pour tout $n$ , $v_n = u_n - 8$ .

Calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ .
Montre que $v_{n+1} = 0{,}5\,v_n$ . Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?
Exprime $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ .
Conjecture la limite de $(u_n)$ .

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$u_1 = 1 + 4 = 5$ ; $u_2 = 2{,}5 + 4 = 6{,}5$ ; $u_3 = 3{,}25 + 4 = 7{,}25$ .
$v_{n+1} = u_{n+1} - 8 = 0{,}5\,u_n + 4 - 8 = 0{,}5\,u_n - 4 = 0{,}5\,(u_n - 8) = 0{,}5\,v_n$ . $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $v_0 = 2 - 8 = -6$ .
$v_n = -6 \times 0{,}5^n$ , donc $u_n = v_n + 8 = 8 - 6 \times 0{,}5^n$ . (Vérification : $u_3 = 8 - 0{,}75 = 7{,}25$ ✓.)
$0{,}5^n$ tend vers $0$ , donc $u_n$ tend vers $8$ .