Suites arithmétiques et géométriques, sommes et limites

Ce que tu sais déjà. Tu sais définir une suite de façon explicite ou par récurrence et étudier son sens de variation (Première — Suites numériques). Tu connais les fonctions affines (Seconde — Fonctions affines) et le coefficient multiplicateur associé à une évolution en pourcentage (Seconde — Proportions et évolutions). Les deux familles de suites de ce chapitre sont exactement les versions « discrètes » de ces deux idées.

1. Suites arithmétiques

Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1} = u_n + r.$$

Le réel $r$ est la raison de la suite : on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

Reconnaître une suite arithmétique. On calcule $u_{n+1} - u_n$ : si cette différence est une constante (elle ne dépend pas de $n$), la suite est arithmétique et cette constante est sa raison.

Exemple. $u_n = 7 - 3n$. $u_{n+1} - u_n = 7 - 3(n+1) - (7 - 3n) = -3$ : la suite est arithmétique de raison $-3$ et de premier terme $u_0 = 7$.

Propriété (terme général). Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$ :

$$u_n = u_0 + nr \qquad\text{et plus généralement}\qquad u_n = u_p + (n - p)\,r.$$

Sens de variation. $u_{n+1} - u_n = r$ : la suite est croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$.

Représentation. Les points $(n\,;\,u_0 + nr)$ sont alignés sur la droite d’équation $y = rx + u_0$ : une suite arithmétique modélise une croissance (ou décroissance) linéaire.

Exemple. $(u_n)$ est arithmétique avec $u_5 = 12$ et $u_{12} = 33$. $u_{12} - u_5 = 7r$, donc $7r = 21$ et $r = 3$. Puis $u_0 = u_5 - 5r = 12 - 15 = -3$ : $u_n = -3 + 3n$.

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Suites géométriques

Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1} = q \times u_n.$$

Le réel $q$ est la raison : on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Lien avec les pourcentages. Une quantité qui augmente de $t\,\%$ chaque année est multipliée par $1 + \dfrac{t}{100}$ : elle forme une suite géométrique de raison $q = 1 + \dfrac{t}{100}$. Une baisse de $t\,\%$ donne $q = 1 - \dfrac{t}{100}$.

Reconnaître une suite géométrique (termes non nuls). On calcule $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : si ce quotient est constant, la suite est géométrique de raison ce quotient.

Propriété (terme général). Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$ :

$$u_n = u_0 \times q^n \qquad\text{et plus généralement}\qquad u_n = u_p \times q^{\,n - p}.$$

Sens de variation (pour $u_0 > 0$) : si $q > 1$, la suite est croissante ; si $0 < q < 1$, elle est décroissante ; si $q = 1$, elle est constante. (Si $u_0 < 0$, c’est l’inverse. Si $q < 0$, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n’est pas monotone.)

En effet, $u_{n+1} - u_n = u_0 q^{n+1} - u_0 q^n = u_0\,q^n\,(q - 1)$ : pour $u_0 > 0$ et $q > 0$, cette différence a le signe de $q - 1$.

Exemple (modélisation). On place $1\,500$ € à $2\,\%$ par an, intérêts composés. Le capital $C_n$ au bout de $n$ années vérifie $C_{n+1} = 1{,}02\,C_n$ : $C_n = 1\,500 \times 1{,}02^n$. Au bout de 10 ans : $C_{10} \approx 1\,828{,}49$ €. À intérêts simples (on ajoute chaque année $2\,\%$ du capital initial, soit $30$ €), on aurait $S_n = 1\,500 + 30n$, et $S_{10} = 1\,800$ €.

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

3. Sommes de termes consécutifs

Propriété. Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

$$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$

Conséquence (suite arithmétique). La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut

$$\text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.$$

Exemple. $3 + 7 + 11 + \dots + 79$ : c’est une suite arithmétique de raison $4$ ; $79 = 3 + 4 \times 19$, il y a donc $20$ termes (indices $0$ à $19$). Somme : $20 \times \dfrac{3 + 79}{2} = 820$.

Propriété. Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier naturel $n$ :

$$1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$$

Conséquence (suite géométrique). Pour une suite géométrique de raison $q \neq 1$ : $u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (attention : il y a $n + 1$ termes).

Exemple. $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2\,047$.

Piège fréquent. Compter le nombre de termes : de $u_0$ à $u_n$ il y en a $n + 1$ ; de $u_1$ à $u_n$ il y en a $n$ ; de $u_p$ à $u_n$ il y en a $n - p + 1$.

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

4. Comportement quand n devient grand

On cherche à savoir ce que deviennent les termes $u_n$ quand $n$ devient de plus en plus grand. En Première, on se contente d’une approche intuitive (tableau de valeurs, nuage de points, programme). Trois comportements sont possibles.

• Limite finie : les termes se rapprochent autant qu’on veut d’un nombre $\ell$. On dit que la suite converge vers $\ell$ et on note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$. Exemple : $\dfrac1n$ tend vers $0$ ; $0{,}5^n$ tend vers $0$.
• Limite infinie : les termes finissent par dépasser n’importe quel nombre (aussi grand soit-il) ; on note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. (Même idée pour $-\infty$.) Exemple : $n^2$ ; $1{,}1^n$ ; une suite arithmétique de raison $r > 0$.
• Absence de limite : la suite ne se rapproche d’aucun nombre et ne tend pas vers $\pm\infty$. Exemple : $(-1)^n$ vaut alternativement $1$ et $-1$ ; $(-2)^n$ oscille avec des écarts de plus en plus grands.

Propriété (suites géométriques, admise). Pour $q > 0$ :

• si $q > 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ ;
• si $0 < q < 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$ ;
• si $q = 1$, $q^n = 1$ pour tout $n$.

(Pour $-1 < q < 0$, $q^n$ tend aussi vers $0$ en changeant de signe ; pour $q \leqslant -1$, il n’y a pas de limite.)

Attention. Une suite croissante ne tend pas forcément vers $+\infty$ : $u_n = 2 - \dfrac{1}{n+1}$ est croissante et tend vers $2$. Et une suite qui tend vers $+\infty$ n’est pas forcément croissante.

Exemple. Le programme ci-dessous affiche les termes de $u_n = 3 + 0{,}5^n$ pour quelques valeurs de $n$ : on observe qu’ils se rapprochent de $3$, et on conjecture $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 3$.

for n in [1, 5, 10, 20, 40]:
    print(n, 3 + 0.5 ** n)

→ S’entraîner : Exercice 7

5. Modéliser et chercher un seuil

Croissance linéaire ou exponentielle ?

• Une quantité qui augmente d’une même valeur à chaque étape suit un modèle arithmétique (croissance linéaire).
• Une quantité qui augmente d’un même pourcentage à chaque étape suit un modèle géométrique (croissance exponentielle). À long terme, une croissance exponentielle de raison $q > 1$ finit toujours par dépasser n’importe quelle croissance linéaire.

Chercher un seuil. Pour savoir à partir de quand le capital $C_n = 1\,500 \times 1{,}02^n$ aura doublé, on ne sait pas encore résoudre $1{,}02^n \geqslant 2$ par le calcul : on utilise un algorithme de seuil.

def doublement():
    n = 0
    C = 1500
    while C < 3000:
        C = C * 1.02
        n = n + 1
    return n

print(doublement())   # affiche 36

Le capital double au bout de 36 ans ($C_{35} \approx 2\,999{,}8$ € et $C_{36} \approx 3\,059{,}8$ €). Cette boucle s’arrête bien : comme $1{,}02 > 1$, la suite tend vers $+\infty$.

→ S’entraîner : Exercice 8 · Exercice 9

À retenir.

• Limite : finie (converge), infinie, ou pas de limite ; $q^n \to +\infty$ si $q > 1$, $q^n \to 0$ si $0 < q < 1$.