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Suites arithmétiques et géométriques, sommes et limites — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Diminuer une quantité de $4\,\%$ revient à la multiplier par quel nombre ?
Calcule $2^5$ .
$(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $2$ . Calcule $u_{10}$ .
$(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $3$ . Calcule $v_2$ .
Calcule $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ .
Factorise $x^2 - 9$ .
Écris $\dfrac35$ sous forme de pourcentage.
Résous $5 - 2x = 11$ .

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Démontre que, pour tout entier $n \geqslant 1$ , $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ . (2 points)
Déduis-en la somme $2 + 4 + 6 + \dots + 100$ . (1,5 point)
Quel est le plus petit entier $n$ tel que $1 + 2 + \dots + n > 1\,000$ ? On pourra calculer $44 \times 45$ et $45 \times 46$ . (1,5 point)

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Soit $S = 1 + 2 + \dots + n$ . On écrit aussi $S = n + (n - 1) + \dots + 1$ . En additionnant terme à terme, chacune des $n$ colonnes vaut $n + 1$ : $2S = n(n + 1)$ , donc $S = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .
$2 + 4 + \dots + 100 = 2(1 + 2 + \dots + 50) = 2 \times \dfrac{50 \times 51}{2} = 2\,550$ .
$1 + \dots + 44 = \dfrac{44 \times 45}{2} = \dfrac{1\,980}{2} = 990 \leqslant 1\,000$ et $1 + \dots + 45 = \dfrac{45 \times 46}{2} = \dfrac{2\,070}{2} = 1\,035 > 1\,000$ . Comme les sommes augmentent avec $n$ , le plus petit entier cherché est $n = 45$ .

$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1\,250$ et de raison $0{,}8$ .

Exprime $u_n$ en fonction de $n$ et calcule $u_3$ . (1 point)
Donne son sens de variation et conjecture sa limite. (1 point)
Calcule $u_0 + u_1 + u_2 + u_3$ de deux façons : directement, puis avec la formule du cours. (2 points)

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$u_n = 1\,250 \times 0{,}8^n$ ; $u_3 = 1\,250 \times 0{,}512 = 640$ .
$u_0 > 0$ et $0 < 0{,}8 < 1$ : la suite est décroissante. $0{,}8^n$ tend vers $0$ , donc $u_n$ tend vers $0$ .
Directement : $u_1 = 1\,000$ , $u_2 = 800$ , $u_3 = 640$ , et $1\,250 + 1\,000 + 800 + 640 = 3\,690$ . Avec la formule (4 termes) : $1\,250 \times \dfrac{1 - 0{,}8^4}{1 - 0{,}8} = 1\,250 \times \dfrac{1 - 0{,}409\,6}{0{,}2} = 1\,250 \times 2{,}952 = 3\,690$ . ✓

Une entreprise propose à Léa un salaire mensuel de départ de $1\,800$ €, avec au choix :

On note $A_n$ et $B_n$ le salaire mensuel au bout de $n$ années.

Donne la nature de chaque suite et exprime $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$ . (1,5 point)
Calcule $A_1$ et $B_1$ . (1 point)
On donne $1{,}025^{10} \approx 1{,}28$ . Compare $A_{10}$ et $B_{10}$ . Quelle proposition conseiller à Léa si elle compte rester longtemps dans l'entreprise ? Justifie. (1,5 point)

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$(A_n)$ est arithmétique de raison $50$ : $A_n = 1\,800 + 50n$ . $(B_n)$ est géométrique de raison $1{,}025$ : $B_n = 1\,800 \times 1{,}025^n$ .
$A_1 = 1\,850$ € et $B_1 = 1\,800 \times 1{,}025 = 1\,845$ €.
$A_{10} = 2\,300$ € et $B_{10} \approx 1\,800 \times 1{,}28 = 2\,304$ € : B est devenue plus avantageuse. Une croissance exponentielle ( $q = 1{,}025 > 1$ ) finit toujours par dépasser une croissance linéaire, et l'écart se creuse ensuite : sur le long terme, il faut conseiller la proposition B.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 0{,}2\,u_n + 4$ . On pose $v_n = u_n - 5$ .

Montre que $(v_n)$ est géométrique ; précise sa raison et son premier terme. (1,5 point)
Déduis-en $u_n$ en fonction de $n$ , puis conjecture la limite de $(u_n)$ . (1,5 point)

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$v_{n+1} = u_{n+1} - 5 = 0{,}2\,u_n + 4 - 5 = 0{,}2\,u_n - 1 = 0{,}2\,(u_n - 5) = 0{,}2\,v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}2$ et de premier terme $v_0 = 10 - 5 = 5$ .
$v_n = 5 \times 0{,}2^n$ , donc $u_n = 5 + 5 \times 0{,}2^n$ . Comme $0{,}2^n$ tend vers $0$ , $u_n$ tend vers $5$ .