Première

Simuler une variable aléatoire, moyenne d'un échantillon — Exercices d'application

1. Simuler une variable aléatoire

Exercice 1 — ⭐

On a importé from random import random, randint. Décris la loi de la variable aléatoire simulée par chaque fonction.

def f():
    return randint(1, 6) + randint(1, 6)

def g():
    if random() < 0.3:
        return 1
    else:
        return 0

def h():
    return 10 * randint(0, 1)

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f simule la somme de deux dés équilibrés (valeurs entières de $2$ à $12$ , non équiprobables).
g renvoie $1$ avec la probabilité $0{,}3$ et $0$ avec la probabilité $0{,}7$ : c’est une variable de Bernoulli de paramètre $0{,}3$ .
h renvoie $0$ ou $10$ avec la même probabilité $\dfrac12$ .

Exercice 2 — ⭐⭐

À un jeu, on mise $1$ € et on reçoit $4$ € avec la probabilité $0{,}2$ (rien sinon). On note $X$ le gain net.

Donne la loi de $X$ et calcule $E(X)$ .
Écris une fonction Python jeu() qui simule une partie et renvoie le gain net.
Quelle formule de tableur simule une partie ?

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$X = 3$ avec la probabilité $0{,}2$ ; $X = -1$ avec la probabilité $0{,}8$ . $E(X) = 0{,}6 - 0{,}8 = -0{,}2$ .

from random import random

def jeu():
    if random() < 0.2:
        return 3
    else:
        return -1

=SI(ALEA()<0,2;3;-1).

2. Échantillon et moyenne d’un échantillon

↩ Revoir le cours

Exercice 3 — ⭐⭐

Complète la fonction suivante pour qu’elle renvoie la moyenne des gains sur

n

parties du jeu de l’exercice 2.

def moyenne_gains(n):
    total = ...
    for i in range(...):
        total = total + ...
    return ...

Vers quelle valeur la moyenne renvoyée devrait-elle se rapprocher quand $n$ est très grand ?

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def moyenne_gains(n):
    total = 0
    for i in range(n):
        total = total + jeu()
    return total / n

Vers l’espérance $E(X) = -0{,}2$ : sur un grand nombre de parties, on perd en moyenne $0{,}20$ € par partie.

3. La moyenne se rapproche de l’espérance

↩ Revoir le cours

Exercice 4 — ⭐⭐⭐

On lance moyenne_echantillon(n) (moyenne de $n$ lancers de dé, voir le cours) pour trois valeurs de $n$ et on obtient : $2{,}9$ pour $n = 10$ , $3{,}62$ pour $n = 100$ et $3{,}497$ pour $n = 10\,000$ .

Ces résultats sont-ils cohérents avec le cours ? Explique.
Un camarade relance le programme avec $n = 10$ et obtient $4{,}1$ . A-t-il fait une erreur ?
La moyenne de $10$ lancers peut-elle valoir $6$ ? Avec quelle probabilité ?

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Oui : plus $n$ est grand, plus la moyenne est proche de l’espérance $3{,}5$ (écarts $0{,}6$ ; $0{,}12$ ; $0{,}003$ ).
Non : pour un petit échantillon, la moyenne fluctue beaucoup d’une simulation à l’autre.
Oui, si les $10$ lancers donnent $6$ : probabilité $\left(\dfrac16\right)^{10}$ (environ $1{,}7 \times 10^{-8}$ ), c’est possible mais extrêmement rare.

4. Dispersion des moyennes de N échantillons

↩ Revoir le cours

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

On reprend le jeu de l’exercice 2 ( $X = 3$ avec probabilité $0{,}2$ , $X = -1$ sinon).

Calcule $V(X)$ avec la formule de König-Huygens, puis $\sigma(X)$ .
Calcule $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$ pour $n = 64$ puis pour $n = 256$ , et donne dans chaque cas l’intervalle $\left[\mu - \dfrac{2\sigma}{\sqrt n}\,;\,\mu + \dfrac{2\sigma}{\sqrt n}\right]$ .
Que se passe-t-il pour la largeur de l’intervalle quand $n$ est multiplié par $4$ ?

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$E(X^2) = 0{,}2 \times 9 + 0{,}8 \times 1 = 2{,}6$ ; $V(X) = 2{,}6 - (-0{,}2)^2 = 2{,}56$ ; $\sigma(X) = 1{,}6$ .
$n = 64$ : $\dfrac{2 \times 1{,}6}{8} = 0{,}4$ , intervalle $[-0{,}6\,;\,0{,}2]$ . $n = 256$ : $\dfrac{3{,}2}{16} = 0{,}2$ , intervalle $[-0{,}4\,;\,0]$ .
$\sqrt{4n} = 2\sqrt n$ : la largeur est divisée par $2$ .

Exercice 6 — ⭐⭐⭐⭐

En t’inspirant de la fonction proportion du cours, écris une fonction proportion_jeu(N, n) qui simule $N$ échantillons de $n$ parties du jeu de l’exercice 2 et renvoie la proportion de ceux dont la moyenne est dans l’intervalle $[\mu - 2\sigma/\sqrt n\,;\,\mu + 2\sigma/\sqrt n]$ .
Quelle valeur approximative attend-on ?
Un joueur affirme avoir gagné en moyenne $0{,}50$ € par partie sur $256$ parties. Qu’en penses-tu ?

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from math import sqrt

def proportion_jeu(N, n):
    mu = -0.2
    sigma = 1.6
    compteur = 0
    for k in range(N):
        if abs(moyenne_gains(n) - mu) <= 2 * sigma / sqrt(n):
            compteur = compteur + 1
    return compteur / N

Environ $0{,}95$ .
Pour $n = 256$ , l’intervalle est $[-0{,}4\,;\,0]$ : une moyenne de $+0{,}50$ en est très éloignée. Ce n’est pas impossible, mais c’est tellement improbable qu’on peut douter de l’affirmation (ou des règles annoncées du jeu).