Première⏱ 50 minutes

Simuler une variable aléatoire, moyenne d'un échantillon — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Calcule $\sqrt{100}$ .
Calcule $\dfrac{2 \times 3}{\sqrt{36}}$ .
Avec quelle probabilité le test random() < 0.4 est-il vrai ?
Quelles valeurs la fonction randint(1, 4) peut-elle renvoyer ?
$X$ vaut $1$ avec la probabilité $0{,}3$ et $0$ sinon. Calcule $E(X)$ .
Calcule $0{,}25 \times 4 - 0{,}75 \times 1$ .
Par combien est divisé $\dfrac{1}{\sqrt n}$ quand $n$ est multiplié par $9$ ?
Écris $0{,}95$ en pourcentage.

Voir le corrigé

$10$ .
$\dfrac66 = 1$ .
$0{,}4$ .
$1$ , $2$ , $3$ ou $4$ .
$0{,}3$ .
$1 - 0{,}75 = 0{,}25$ .
Par $\sqrt9 = 3$ .
$95\,\%$ .

Exercice 2 (6 points) — Lire une simulation

from random import random

def X():
    r = random()
    if r < 0.1:
        return 10
    elif r < 0.4:
        return 2
    else:
        return -1

def moyenne(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        s = s + X()
    return s / n

Donne la loi de probabilité de la variable aléatoire simulée par X(). (2 points)
Calcule son espérance. (1,5 point)
Que renvoie moyenne(n) ? (1 point)
Vers quelle valeur moyenne(100000) devrait-elle être proche ? Pourquoi ? (1,5 point)

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r est au hasard dans $[0\,;\,1[$ . $X = 10$ si $r < 0{,}1$ (probabilité $0{,}1$ ) ; $X = 2$ si $0{,}1 \leqslant r < 0{,}4$ (probabilité $0{,}3$ ) ; $X = -1$ sinon (probabilité $0{,}6$ ).
$E(X) = 0{,}1 \times 10 + 0{,}3 \times 2 + 0{,}6 \times (-1) = 1 + 0{,}6 - 0{,}6 = 1$ .
La moyenne d'un échantillon de taille $n$ de $X$ (somme de $n$ simulations, divisée par $n$ ).
Vers l'espérance $1$ : d'après la loi des grands nombres, la moyenne d'un grand échantillon est proche de l'espérance.

Exercice 3 (6 points) — Dispersion des moyennes

Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $\mu = 5$ et pour écart type $\sigma = 2$ . On simule un grand nombre d'échantillons de taille $n$ et on calcule la moyenne de chacun.

Pour $n = 100$ , calcule $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$ et donne l'intervalle dans lequel on s'attend à trouver environ $95\,\%$ des moyennes. (2 points)
Même question pour $n = 400$ . (1,5 point)
À partir de quelle taille $n$ l'intervalle a-t-il une demi-largeur $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$ inférieure ou égale à $0{,}1$ ? (2,5 points)

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$\dfrac{2 \times 2}{\sqrt{100}} = 0{,}4$ : environ $95\,\%$ des moyennes dans $[4{,}6\,;\,5{,}4]$ .
$\dfrac{4}{\sqrt{400}} = \dfrac{4}{20} = 0{,}2$ : intervalle $[4{,}8\,;\,5{,}2]$ .
$\dfrac{4}{\sqrt n} \leqslant 0{,}1 \iff \sqrt n \geqslant 40 \iff n \geqslant 1\,600$ . Il faut des échantillons d'au moins $1\,600$ valeurs.

Exercice 4 (4 points) — Fréquence d'un succès

On s'intéresse à une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}25$ .

Écris une formule de tableur qui renvoie $1$ en cas de succès et $0$ sinon. (1 point)
Écris une fonction Python frequence(n) qui simule $n$ épreuves et renvoie la fréquence des succès. (2 points)
Vers quelle valeur frequence(n) se rapproche-t-elle quand $n$ est grand ? (1 point)

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=SI(ALEA()<0,25;1;0).

from random import random

def frequence(n):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if random() < 0.25:
            succes = succes + 1
    return succes / n

Vers $p = 0{,}25$ (l'espérance d'une variable de Bernoulli de paramètre $p$ est $p$ ).