Simuler une variable aléatoire, moyenne d'un échantillon

Ce que tu sais déjà. Tu sais déterminer la loi, l’espérance $\mu = E(X)$ et l’écart type $\sigma = \sigma(X)$ d’une variable aléatoire (Première — Variables aléatoires), et utiliser les fonctions random() et randint() de Python (Seconde — Python). On va maintenant faire tourner l’expérience des milliers de fois, par ordinateur, pour voir la théorie « en action ».

1. Simuler une variable aléatoire

Avec Python. Le module random fournit :

• random() : un nombre décimal au hasard dans $[0\,;\,1[$ ;
• randint(a, b) : un entier au hasard entre $a$ et $b$ (inclus).

Pour simuler une issue de probabilité $p$, on teste random() < p : c’est vrai avec la probabilité $p$.

from random import random, randint

def de():
    """Résultat d'un dé équilibré."""
    return randint(1, 6)

def gain_roue():
    """Gain de la roue de loterie : -2 (p = 0,5), 0 (0,2), 3 (0,2), 8 (0,1)."""
    r = random()
    if r < 0.5:
        return -2
    elif r < 0.7:
        return 0
    elif r < 0.9:
        return 3
    else:
        return 8

Dans gain_roue, l’intervalle $[0\,;\,1[$ est découpé en morceaux de longueurs $0{,}5$ ; $0{,}2$ ; $0{,}2$ ; $0{,}1$ : chaque valeur sort avec la bonne probabilité.

Avec un tableur. =ALEA() renvoie un nombre au hasard dans $[0\,;\,1[$, =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) simule un dé, et =SI(ALEA()<0,3;1;0) renvoie $1$ avec la probabilité $0{,}3$ (et $0$ sinon). En recopiant la formule vers le bas sur $1\,000$ lignes, on obtient $1\,000$ simulations ; la touche F9 relance tous les tirages.

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Échantillon et moyenne d’un échantillon

Définition. Un échantillon de taille $n$ d’une variable aléatoire $X$ est la liste des $n$ valeurs obtenues en répétant $n$ fois, de façon indépendante, l’expérience. Sa moyenne est $\overline{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$.

def moyenne_echantillon(n):
    """Moyenne d'un échantillon de taille n des résultats d'un dé."""
    somme = 0
    for i in range(n):
        somme = somme + de()
    return somme / n

Attention. La moyenne d’un échantillon est aléatoire : deux appels à moyenne_echantillon(100) donnent en général deux résultats différents. L’espérance $\mu = E(X)$, elle, est un nombre fixe ($3{,}5$ pour un dé).

→ S’entraîner : Exercice 3

3. La moyenne se rapproche de l’espérance

Observation (loi des grands nombres, admise). Plus la taille $n$ de l’échantillon est grande, plus la moyenne $\overline{x}$ a tendance à être proche de l’espérance $\mu$.

C’est ce qui justifie l’interprétation de l’espérance comme moyenne à long terme, et la méthode de Monte-Carlo (chapitre précédent).

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Dispersion des moyennes de N échantillons

On simule maintenant $N$ échantillons de taille $n$ et on calcule la moyenne de chacun : on obtient une série de $N$ moyennes. Comment est-elle dispersée ?

Observation (admise). Pour une variable aléatoire d’espérance $\mu$ et d’écart type $\sigma$ :

• l’écart type $s$ de la série des moyennes est proche de $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ : quand $n$ est multiplié par $4$, la dispersion des moyennes est divisée par $2$ ;
• dans environ $95\,\%$ des cas, la moyenne d’un échantillon est à une distance inférieure ou égale à $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$ de l’espérance : $\overline{x} \in \left[\mu - \dfrac{2\sigma}{\sqrt n}\,;\,\mu + \dfrac{2\sigma}{\sqrt n}\right]$.

Exemple (dé). $\mu = 3{,}5$ et $V(X) = E(X^2) - \mu^2 = \dfrac{91}{6} - 12{,}25 = \dfrac{35}{12}$, donc $\sigma = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \approx 1{,}71$. Pour $n = 100$ : $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{100}} \approx 0{,}34$. Environ $95\,\%$ des échantillons de $100$ lancers ont une moyenne entre $3{,}16$ et $3{,}84$.

from math import sqrt

def proportion(N, n):
    """Proportion des N échantillons de taille n dont la moyenne est à moins de 2*sigma/sqrt(n) de 3,5."""
    sigma = sqrt(35 / 12)
    compteur = 0
    for k in range(N):
        if abs(moyenne_echantillon(n) - 3.5) <= 2 * sigma / sqrt(n):
            compteur = compteur + 1
    return compteur / N

print(proportion(1000, 100))   # affiche une valeur proche de 0.95

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

À retenir.

• Simuler : random() < p pour une probabilité $p$ ; randint(a, b) ; au tableur ALEA(), ALEA.ENTRE.BORNES, SI.
• La moyenne d’un échantillon est aléatoire ; elle se rapproche de $\mu$ quand $n$ augmente.
• Les moyennes de nombreux échantillons de taille $n$ ont un écart type proche de $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$, et environ $95\,\%$ d’entre elles sont dans $\left[\mu - \dfrac{2\sigma}{\sqrt n}\,;\,\mu + \dfrac{2\sigma}{\sqrt n}\right]$.