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Première

Fonctions polynômes du second degré : forme canonique et variations — Exercices d'application

1. Fonctions polynômes du second degré

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Exercice 1 — ⭐

Pour chaque fonction, dis si c’est une fonction polynôme du second degré. Si oui, donne aa, bb et cc.

  1. f1(x)=3x2−xf_1(x) = 3x^2 - x
  2. f2(x)=(2x−1)(x+3)f_2(x) = (2x - 1)(x + 3)
  3. f3(x)=x(x−4)−x2f_3(x) = x(x - 4) - x^2
  4. f4(x)=(x−1)2+2xf_4(x) = (x - 1)^2 + 2x
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  1. Oui : a=3a = 3, b=−1b = -1, c=0c = 0.
  2. On développe : f2(x)=2x2+6x−x−3=2x2+5x−3f_2(x) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3. Oui : a=2a = 2, b=5b = 5, c=−3c = -3.
  3. f3(x)=x2−4x−x2=−4xf_3(x) = x^2 - 4x - x^2 = -4x : le terme en x2x^2 disparaît, ce n’est pas du second degré (c’est une fonction linéaire).
  4. f4(x)=x2−2x+1+2x=x2+1f_4(x) = x^2 - 2x + 1 + 2x = x^2 + 1. Oui : a=1a = 1, b=0b = 0, c=1c = 1.

2. La forme canonique

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Exercice 2 — ⭐⭐

Mets sous forme canonique en complétant le carré.

  1. x2−10x+7x^2 - 10x + 7
  2. x2+3xx^2 + 3x
  3. x2+2x+5x^2 + 2x + 5
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  1. x2−10x=(x−5)2−25x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25, donc x2−10x+7=(x−5)2−18x^2 - 10x + 7 = (x - 5)^2 - 18.
  2. x2+3x=x2+2×32×x=(x+32)2−94x^2 + 3x = x^2 + 2 \times \dfrac32 \times x = \left(x + \dfrac32\right)^2 - \dfrac94.
  3. x2+2x+5=(x+1)2−1+5=(x+1)2+4x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 - 1 + 5 = (x + 1)^2 + 4.

Exercice 3 — ⭐⭐

Mets sous forme canonique (commence par factoriser aa), puis vérifie avec α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a} et β=f(α)\beta = f(\alpha).

  1. f(x)=3x2+12x+7f(x) = 3x^2 + 12x + 7
  2. g(x)=−2x2+4x+6g(x) = -2x^2 + 4x + 6
Voir le corrigé
  1. f(x)=3(x2+4x)+7=3[(x+2)2−4]+7=3(x+2)2−12+7=3(x+2)2−5f(x) = 3(x^2 + 4x) + 7 = 3\big[(x + 2)^2 - 4\big] + 7 = 3(x + 2)^2 - 12 + 7 = 3(x + 2)^2 - 5. Vérification : α=−126=−2\alpha = -\dfrac{12}{6} = -2 et f(−2)=12−24+7=−5f(-2) = 12 - 24 + 7 = -5. ✓
  2. g(x)=−2(x2−2x)+6=−2[(x−1)2−1]+6=−2(x−1)2+2+6=−2(x−1)2+8g(x) = -2(x^2 - 2x) + 6 = -2\big[(x - 1)^2 - 1\big] + 6 = -2(x - 1)^2 + 2 + 6 = -2(x - 1)^2 + 8. Vérification : α=−4−4=1\alpha = -\dfrac{4}{-4} = 1 et g(1)=−2+4+6=8g(1) = -2 + 4 + 6 = 8. ✓

3. Variations, extremum et parabole

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Exercice 4 — ⭐⭐

  1. Soit f(x)=−3(x+1)2+5f(x) = -3(x + 1)^2 + 5. Dresse son tableau de variations et donne son extremum.
  2. Soit g(x)=0,5(x−4)2−2g(x) = 0{,}5(x - 4)^2 - 2. Dresse son tableau de variations et donne son extremum.
  3. Sans calculer, justifie que f(−3)=f(1)f(-3) = f(1), puis calcule cette valeur.
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  1. a=−3<0a = -3 < 0, α=−1\alpha = -1, β=5\beta = 5 : ff est croissante sur ]−∞ ; −1]]-\infty\,;\,-1] puis décroissante sur [−1 ; +∞[[-1\,;\,+\infty[. Maximum 55, atteint en x=−1x = -1.
  2. a=0,5>0a = 0{,}5 > 0, α=4\alpha = 4, β=−2\beta = -2 : gg est décroissante sur ]−∞ ; 4]]-\infty\,;\,4] puis croissante sur [4 ; +∞[[4\,;\,+\infty[. Minimum −2-2, atteint en x=4x = 4.
  3. −3-3 et 11 sont symétriques par rapport à α=−1\alpha = -1 (ils sont tous deux à distance 22 de −1-1) : ils ont la même image. f(1)=−3×22+5=−7f(1) = -3 \times 2^2 + 5 = -7.

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

La parabole représentant une fonction polynôme du second degré ff a pour sommet S(2 ; −1)S(2\,;\,-1) et passe par le point A(0 ; 3)A(0\,;\,3).

  1. Justifie que f(x)=a(x−2)2−1f(x) = a(x - 2)^2 - 1, puis détermine aa.
  2. Donne la forme développée de f(x)f(x), puis vérifie que f(x)=(x−1)(x−3)f(x) = (x - 1)(x - 3).
  3. En quels points la parabole coupe-t-elle l’axe des abscisses ?
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  1. Le sommet donne α=2\alpha = 2 et β=−1\beta = -1 : f(x)=a(x−2)2−1f(x) = a(x - 2)^2 - 1. Comme AA est sur la courbe, f(0)=3f(0) = 3, soit 4a−1=34a - 1 = 3, donc a=1a = 1.
  2. f(x)=(x−2)2−1=x2−4x+3f(x) = (x - 2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 3. Et (x−1)(x−3)=x2−3x−x+3=x2−4x+3(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3. ✓
  3. f(x)=0  ⟺  x=1f(x) = 0 \iff x = 1 ou x=3x = 3 : la parabole coupe l’axe des abscisses en (1 ; 0)(1\,;\,0) et (3 ; 0)(3\,;\,0) (symétriques par rapport à x=2x = 2, comme attendu).

4. Forme factorisée et racines

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Exercice 6 — ⭐⭐

  1. Détermine la fonction polynôme du second degré ff qui s’annule en 11 et en −3-3, et telle que f(0)=6f(0) = 6. Donne sa forme développée.
  2. Sans passer par la forme développée, détermine le sommet de sa parabole.
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  1. f(x)=a(x−1)(x+3)f(x) = a(x - 1)(x + 3). f(0)=a×(−1)×3=−3a=6f(0) = a \times (-1) \times 3 = -3a = 6, donc a=−2a = -2. f(x)=−2(x−1)(x+3)=−2(x2+2x−3)=−2x2−4x+6f(x) = -2(x - 1)(x + 3) = -2(x^2 + 2x - 3) = -2x^2 - 4x + 6.
  2. α=1+(−3)2=−1\alpha = \dfrac{1 + (-3)}{2} = -1 et β=f(−1)=−2×(−2)×2=8\beta = f(-1) = -2 \times (-2) \times 2 = 8 : sommet S(−1 ; 8)S(-1\,;\,8). Comme a<0a < 0, c’est un maximum.

5. Choisir la forme adaptée

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Soit k(x)=x2−5x+4k(x) = x^2 - 5x + 4.

  1. Vérifie que k(x)=(x−52)2−94k(x) = \left(x - \dfrac52\right)^2 - \dfrac94 et que k(x)=(x−1)(x−4)k(x) = (x - 1)(x - 4).
  2. En choisissant à chaque fois la forme la plus adaptée : a) calcule k(0)k(0) ; b) donne le minimum de kk ; c) résous k(x)=0k(x) = 0 ; d) résous k(x)=4k(x) = 4 ; e) étudie le signe de k(x)k(x) à l’aide d’un tableau de signes.
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  1. (x−52)2−94=x2−5x+254−94=x2−5x+4\left(x - \dfrac52\right)^2 - \dfrac94 = x^2 - 5x + \dfrac{25}{4} - \dfrac94 = x^2 - 5x + 4 ✓ et (x−1)(x−4)=x2−5x+4(x - 1)(x - 4) = x^2 - 5x + 4 ✓.
  2. a) Forme développée : k(0)=4k(0) = 4. b) Forme canonique : a=1>0a = 1 > 0, minimum −94-\dfrac94 atteint en x=52x = \dfrac52. c) Forme factorisée : x=1x = 1 ou x=4x = 4. d) Forme développée : x2−5x+4=4  ⟺  x2−5x=0  ⟺  x(x−5)=0  ⟺  x=0x^2 - 5x + 4 = 4 \iff x^2 - 5x = 0 \iff x(x - 5) = 0 \iff x = 0 ou x=5x = 5. e) Forme factorisée : x−1x - 1 s’annule en 11, x−4x - 4 en 44, tous deux « −- » puis « ++ ». Le produit est positif sur ]−∞ ; 1[]-\infty\,;\,1[ et sur ]4 ; +∞[]4\,;\,+\infty[, négatif sur ]1 ; 4[]1\,;\,4[, nul en 11 et 44.

Exercice 8 — ⭐⭐⭐⭐

Un magasin vend des lampes. S’il fixe le prix à pp euros (avec 0⩽p⩽400 \leqslant p \leqslant 40), il en vend 200−5p200 - 5p par mois.

  1. Montre que la recette mensuelle est R(p)=−5p2+200pR(p) = -5p^2 + 200p.
  2. Écris R(p)R(p) sous forme canonique.
  3. Quel prix faut-il fixer pour que la recette soit maximale ? Combien vaut-elle alors, et combien de lampes sont vendues ?
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  1. Recette = prix × quantité vendue : R(p)=p(200−5p)=−5p2+200pR(p) = p(200 - 5p) = -5p^2 + 200p.
  2. α=−2002×(−5)=20\alpha = -\dfrac{200}{2 \times (-5)} = 20 et β=R(20)=20×100=2 000\beta = R(20) = 20 \times 100 = 2\,000 : R(p)=−5(p−20)2+2 000R(p) = -5(p - 20)^2 + 2\,000.
  3. a=−5<0a = -5 < 0 : la recette est maximale pour p=20p = 20 € (qui est bien dans [0 ; 40][0\,;\,40]). Elle vaut alors 2 0002\,000 €, pour 200−100=100200 - 100 = 100 lampes vendues.