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Première⏱ 50 minutes

Fonctions polynômes du second degré : forme canonique et variations — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

  1. Développe (x−3)2(x - 3)^2.
  2. f(x)=2x2−x+1f(x) = 2x^2 - x + 1. Calcule f(−1)f(-1).
  3. Factorise x2−4xx^2 - 4x.
  4. Calcule 25 %25\,\% de 8080.
  5. Résous (x+2)(x−5)=0(x + 2)(x - 5) = 0.
  6. Pour x2−6x+1x^2 - 6x + 1, calcule α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a}.
  7. Compare −32-3^2 et (−3)2(-3)^2.
  8. Donne le sens de variation de x↦−2x+1x \mapsto -2x + 1 sur R\mathbb{R}.
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  1. x2−6x+9x^2 - 6x + 9.
  2. f(−1)=2+1+1=4f(-1) = 2 + 1 + 1 = 4.
  3. x(x−4)x(x - 4).
  4. 2020.
  5. x=−2x = -2 ou x=5x = 5.
  6. α=−−62=3\alpha = -\dfrac{-6}{2} = 3.
  7. −32=−9-3^2 = -9 et (−3)2=9(-3)^2 = 9 : −32<(−3)2-3^2 < (-3)^2.
  8. Décroissante (coefficient directeur −2<0-2 < 0).

Exercice 2 (5 points) — Forme canonique et variations

Soit f(x)=2x2+8x+3f(x) = 2x^2 + 8x + 3.

  1. Montre que f(x)=2(x+2)2−5f(x) = 2(x + 2)^2 - 5. (1,5 point)
  2. Dresse le tableau de variations de ff et donne son extremum. (2 points)
  3. Justifie sans calcul que f(−5)=f(1)f(-5) = f(1), puis calcule cette valeur. (1,5 point)
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  1. 2(x+2)2−5=2(x2+4x+4)−5=2x2+8x+8−5=2x2+8x+3=f(x)2(x + 2)^2 - 5 = 2(x^2 + 4x + 4) - 5 = 2x^2 + 8x + 8 - 5 = 2x^2 + 8x + 3 = f(x). ✓

  2. a=2>0a = 2 > 0, α=−2\alpha = -2, β=−5\beta = -5 : ff est décroissante sur ]−∞ ; −2]]-\infty\,;\,-2] et croissante sur [−2 ; +∞[[-2\,;\,+\infty[ ; son minimum est −5-5, atteint en x=−2x = -2.

    xx−∞-\infty−2-2+∞+\infty
    ff↘−5-5↗

  3. −5-5 et 11 sont à la même distance (33) de α=−2\alpha = -2 : ils sont symétriques par rapport à l'axe x=−2x = -2 et ont la même image. f(1)=2+8+3=13f(1) = 2 + 8 + 3 = 13.

Exercice 3 (4 points) — Retrouver une fonction

On cherche la fonction polynôme du second degré ff qui s'annule en −1-1 et en 33 et dont la courbe passe par le point B(1 ; −8)B(1\,;\,-8).

  1. Détermine f(x)f(x) sous forme factorisée, puis sous forme développée. (2,5 points)
  2. Quel est le sommet de la parabole ? Que remarques-tu à propos du point BB ? (1,5 point)
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  1. f(x)=a(x+1)(x−3)f(x) = a(x + 1)(x - 3). Comme f(1)=−8f(1) = -8 : a×2×(−2)=−4a=−8a \times 2 \times (-2) = -4a = -8, donc a=2a = 2. f(x)=2(x+1)(x−3)=2(x2−2x−3)=2x2−4x−6f(x) = 2(x + 1)(x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6.
  2. α=−1+32=1\alpha = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1 et β=f(1)=−8\beta = f(1) = -8 : le sommet est S(1 ; −8)S(1\,;\,-8). Le point BB est le sommet de la parabole (a=2>0a = 2 > 0 : c'est son point le plus bas).

Exercice 4 (4 points) — Choisir la bonne forme

Soit h(x)=−x2+2x+8h(x) = -x^2 + 2x + 8. On admet que h(x)=−(x−1)2+9h(x) = -(x - 1)^2 + 9 et que h(x)=−(x+2)(x−4)h(x) = -(x + 2)(x - 4).

En choisissant la forme la plus adaptée :

  1. calcule h(0)h(0) ; (0,5 point)
  2. donne le maximum de hh et la valeur où il est atteint ; (1 point)
  3. résous h(x)=0h(x) = 0 ; (1 point)
  4. résous h(x)=8h(x) = 8. (1,5 point)
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  1. Forme développée : h(0)=8h(0) = 8.
  2. Forme canonique : a=−1<0a = -1 < 0, donc le maximum est 99, atteint en x=1x = 1.
  3. Forme factorisée : −(x+2)(x−4)=0  ⟺  x=−2-(x + 2)(x - 4) = 0 \iff x = -2 ou x=4x = 4.
  4. Forme développée : −x2+2x+8=8  ⟺  −x2+2x=0  ⟺  x(2−x)=0  ⟺  x=0-x^2 + 2x + 8 = 8 \iff -x^2 + 2x = 0 \iff x(2 - x) = 0 \iff x = 0 ou x=2x = 2.

Exercice 5 (3 points) — Optimisation

On cherche deux nombres réels dont la somme vaut 1212 et dont le produit est le plus grand possible. On note xx l'un d'eux.

  1. Exprime le produit P(x)P(x) en fonction de xx. (1 point)
  2. Détermine la forme canonique de P(x)P(x) et conclus. (2 points)
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  1. L'autre nombre est 12−x12 - x, donc P(x)=x(12−x)=−x2+12xP(x) = x(12 - x) = -x^2 + 12x.
  2. α=−12−2=6\alpha = -\dfrac{12}{-2} = 6 et β=P(6)=36\beta = P(6) = 36 : P(x)=−(x−6)2+36P(x) = -(x - 6)^2 + 36. Comme a=−1<0a = -1 < 0, PP admet un maximum égal à 3636 pour x=6x = 6 : les deux nombres cherchés sont 66 et 66.