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Fonctions polynômes du second degré : forme canonique et variations

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une fonction polynôme du second degré et ses coefficients a, b, c
Mettre un trinôme sous forme canonique en complétant le carré
Déduire de la forme canonique les variations et l'extremum
Relier forme factorisée et racines ; écrire un trinôme s'annulant en deux nombres donnés
Choisir la forme adaptée (développée, canonique, factorisée) pour répondre à une question
Résoudre un problème d'optimisation simple

Notions clésfonction polynôme du second degré, trinômeforme développée, forme canonique, forme factoriséeα = −b/(2a), β = f(α)extremum (maximum, minimum)parabole, sommetracines d'un trinôme

Ce que tu sais déjà. Tu connais la fonction carré, ses variations et sa courbe, une parabole (Seconde — Fonctions de référence). Tu sais développer, factoriser et utiliser les identités remarquables (Seconde — Calcul littéral), et lire un tableau de variations (Seconde — Variations et extremums). Ce chapitre montre que toutes les fonctions du type $ax^2 + bx + c$ ressemblent à la fonction carré.

1. Fonctions polynômes du second degré

Définition. On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = ax^2 + bx + c,$

où $a$ , $b$ , $c$ sont des réels avec $a \neq 0$ . L’expression $ax^2 + bx + c$ s’appelle un trinôme du second degré ; c’est sa forme développée.

Exemples. $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ : $a = 2$ , $b = -8$ , $c = 5$ . $g(x) = 3 - x^2$ : $a = -1$ , $b = 0$ , $c = 3$ . $h(x) = (x + 1)^2 - x^2$ n’est pas du second degré : en développant, $h(x) = 2x + 1$ (le terme en $x^2$ disparaît).

Remarque. $c = f(0)$ : c’est l’ordonnée du point où la courbe coupe l’axe des ordonnées.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. La forme canonique

Propriété (admise pour l’unicité). Toute fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ peut s’écrire de manière unique sous la forme canonique

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \qquad\text{avec}\qquad \alpha = -\frac{b}{2a} \quad\text{et}\quad \beta = f(\alpha).$

📋 Méthode — Obtenir la forme canonique en complétant le carré

On utilise l’identité $(x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$ , lue « à l’envers » : $x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2$ .

Exemple 1 ( $a = 1$ ) : $x^2 + 6x + 1$ . On repère $x^2 + 6x = x^2 + 2 \times 3 \times x$ , donc $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$ . Ainsi $x^2 + 6x + 1 = (x + 3)^2 - 9 + 1 = (x + 3)^2 - 8$ .

Exemple 2 ( $a \neq 1$ ) : $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ . On factorise $a$ dans les deux premiers termes : $f(x) = 2(x^2 - 4x) + 5$ . Puis $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ , donc $f(x) = 2\big[(x - 2)^2 - 4\big] + 5 = 2(x - 2)^2 - 8 + 5 = 2(x - 2)^2 - 3$ .

Vérification rapide : $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{4} = 2$ et $\beta = f(2) = 8 - 16 + 5 = -3$ . ✓

Raccourci. On peut aussi calculer directement $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ puis $\beta = f(\alpha)$ , et écrire $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ . Il faut toujours vérifier en développant ou en recalculant $f(0)$ .

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Variations, extremum et parabole

Propriété. Soit $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a \neq 0$ .

Si $a > 0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,\alpha]$ et croissante sur $[\alpha\,;\,+\infty[$ ; elle admet un minimum égal à $\beta$ , atteint en $x = \alpha$ .
Si $a < 0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,\alpha]$ et décroissante sur $[\alpha\,;\,+\infty[$ ; elle admet un maximum égal à $\beta$ , atteint en $x = \alpha$ .

Le signe de a suffit à dresser le tableau : « creux » (minimum β) si a > 0, « bosse » (maximum β) si a < 0.

🧠 Démonstration (pour aller plus loin) — Pourquoi β est un minimum quand a > 0

Pour tout réel $x$ , $(x - \alpha)^2 \geqslant 0$ . Si $a > 0$ , alors $a(x - \alpha)^2 \geqslant 0$ , donc $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \geqslant \beta$ , avec égalité si et seulement si $x = \alpha$ . Donc $\beta = f(\alpha)$ est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ . Le cas $a < 0$ est symétrique : $a(x - \alpha)^2 \leqslant 0$ donne $f(x) \leqslant \beta$ .

Courbe. La courbe représentative de $f$ est une parabole, « tournée vers le haut » si $a > 0$ et « vers le bas » si $a < 0$ . Son point le plus bas (ou le plus haut) est le sommet $S(\alpha\,;\,\beta)$ , et la droite verticale d’équation $x = \alpha$ est un axe de symétrie de la courbe : deux réels symétriques par rapport à $\alpha$ ont la même image.

f(x) = 2(x − 2)² − 3 (a > 0, minimum −3 en 2) et g(x) = −(x − 3)² + 4 (a < 0, maximum 4 en 3). Les pointillés verticaux sont les axes de symétrie.

Exemple. $f(x) = 2x^2 - 8x + 5 = 2(x - 2)^2 - 3$ . Comme $a = 2 > 0$ , $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$ , croissante sur $[2\,;\,+\infty[$ , et son minimum vaut $-3$ , atteint en $x = 2$ . Par symétrie, $f(0) = f(4) = 5$ .

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

4. Forme factorisée et racines

Définition. On appelle racine d’un trinôme $ax^2 + bx + c$ toute solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ .

Propriété. Si un trinôme a deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement égales), il s’écrit sous la forme factorisée

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2).$

Réciproquement, $a(x - x_1)(x - x_2)$ s’annule en $x_1$ et $x_2$ (produit nul). L’axe de symétrie passe au milieu des racines : $\alpha = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .

Exemple. $g(x) = -x^2 + 6x - 5$ . On vérifie en développant que $g(x) = -(x - 1)(x - 5)$ : les racines sont $1$ et $5$ , et $\alpha = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$ , ce qui est cohérent avec $g(x) = -(x - 3)^2 + 4$ .

📋 Méthode — Trouver le trinôme qui s'annule en deux nombres donnés

On cherche $f$ du second degré s’annulant en $-2$ et $4$ , et telle que $f(0) = -4$ .

On écrit $f(x) = a(x + 2)(x - 4)$ (forme factorisée, $a$ inconnu).
On utilise la condition supplémentaire : $f(0) = a \times 2 \times (-4) = -8a = -4$ , donc $a = \dfrac12$ .
Conclusion : $f(x) = \dfrac12(x + 2)(x - 4) = \dfrac12 x^2 - x - 4$ .

Attention. Tous les trinômes ne se factorisent pas : $x^2 + 1 = 0$ n’a aucune solution réelle (un carré plus $1$ est strictement positif), donc $x^2 + 1$ n’a pas de forme factorisée. Le chapitre suivant donne un critère pour le savoir à coup sûr : le discriminant.

→ S’entraîner : Exercice 6

5. Choisir la forme adaptée

Une même fonction peut s’écrire sous trois formes. Chacune répond facilement à certaines questions :

Question	Forme la plus adaptée	Exemple avec $g$
Calculer $g(0)$ , dériver, additionner	développée $-x^2 + 6x - 5$	$g(0) = -5$
Extremum, variations, sommet, $g(x) = \beta$	canonique $-(x - 3)^2 + 4$	maximum $4$ en $3$
Résoudre $g(x) = 0$ , signe de $g(x)$	factorisée $-(x - 1)(x - 5)$	racines $1$ et $5$

Exemple (optimisation). On lance une balle ; sa hauteur, en mètres, $t$ secondes après le lancer est $h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5$ . Forme canonique : $\alpha = -\dfrac{20}{2 \times (-5)} = 2$ et $\beta = h(2) = -20 + 40 + 1{,}5 = 21{,}5$ , donc $h(t) = -5(t - 2)^2 + 21{,}5$ . Comme $a = -5 < 0$ , la hauteur est maximale au bout de $2$ s et vaut $21{,}5$ m.

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8

À retenir.

$f(x) = ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 0$ ) s’écrit $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ .
$a > 0$ : minimum $\beta$ en $\alpha$ ; $a < 0$ : maximum $\beta$ en $\alpha$ . Sommet $S(\alpha\,;\,\beta)$ , axe $x = \alpha$ .
Si le trinôme a des racines $x_1$ , $x_2$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ , et $\alpha = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .
Choisir la forme selon la question : développée, canonique ou factorisée.