Première

Second degré : discriminant, racines et signe du trinôme — Exercices d'application

1. Discriminant et résolution de l’équation

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Exercice 1 — ⭐

Résous dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes en calculant le discriminant.

$x^2 - 6x + 5 = 0$
$4x^2 + 4x + 1 = 0$
$2x^2 - x + 3 = 0$
$-x^2 + 4x + 1 = 0$

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$\Delta = 36 - 20 = 16$ , $\sqrt\Delta = 4$ : $x_1 = \dfrac{6 - 4}{2} = 1$ et $x_2 = \dfrac{6 + 4}{2} = 5$ . $\mathcal{S} = \{1\,;\,5\}$ .
$\Delta = 16 - 16 = 0$ : une solution $x_0 = -\dfrac{4}{8} = -\dfrac12$ . $\mathcal{S} = \left\{-\dfrac12\right\}$ .
$\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ : aucune solution. $\mathcal{S} = \varnothing$ .
$\Delta = 16 + 4 = 20$ , $\sqrt{20} = 2\sqrt5$ : $x = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt5}{-2} = 2 \mp \sqrt5$ . $\mathcal{S} = \{2 - \sqrt5\,;\,2 + \sqrt5\}$ .

Exercice 2 — ⭐⭐

Résous chaque équation en choisissant la méthode la plus rapide.

$5x^2 = 3x$
$(x - 1)^2 = 2x + 1$
$x(x + 3) = 10$

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$5x^2 - 3x = 0 \iff x(5x - 3) = 0 \iff x = 0$ ou $x = \dfrac35$ . (Surtout pas de division par $x$ : on perdrait la solution $0$ .)
$x^2 - 2x + 1 = 2x + 1 \iff x^2 - 4x = 0 \iff x(x - 4) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 4$ .
$x^2 + 3x - 10 = 0$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$ ; $x = \dfrac{-3 - 7}{2} = -5$ ou $x = \dfrac{-3 + 7}{2} = 2$ .

2. Factoriser un trinôme

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Exercice 3 — ⭐⭐

Factorise, si c’est possible :

$x^2 + x - 12$
$3x^2 - 6x + 3$
$2x^2 + 5x - 3$
$x^2 + 2x + 4$

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$\Delta = 1 + 48 = 49$ , racines $-4$ et $3$ : $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$ .
$\Delta = 36 - 36 = 0$ , racine double $1$ : $3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$ .
$\Delta = 25 + 24 = 49$ , racines $\dfrac{-5 - 7}{4} = -3$ et $\dfrac{-5 + 7}{4} = \dfrac12$ : $2x^2 + 5x - 3 = 2(x + 3)\left(x - \dfrac12\right) = (x + 3)(2x - 1)$ .
$\Delta = 4 - 16 = -12 < 0$ : pas de factorisation.

3. Somme et produit des racines

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Montre que $1$ est racine de $2x^2 - 7x + 5$ et trouve l’autre racine sans calculer $\Delta$ .
Sachant que $3$ est racine de $x^2 + 4x - 21$ , trouve l’autre racine.
Trouve deux nombres dont la somme vaut $13$ et le produit $40$ .
Un rectangle a pour périmètre $34$ cm et pour aire $60$ cm². Quelles sont ses dimensions ?

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$2 - 7 + 5 = 0$ , donc $1$ est racine. Produit des racines : $\dfrac ca = \dfrac52$ , donc l’autre racine vaut $\dfrac52$ .
Produit : $3 \times x_2 = -21$ , donc $x_2 = -7$ . (Vérification avec la somme : $3 + (-7) = -4 = -\dfrac ba$ . ✓)
Ce sont les solutions de $x^2 - 13x + 40 = 0$ : $\Delta = 169 - 160 = 9$ , $x = \dfrac{13 \pm 3}{2}$ , soit $5$ et $8$ .
La longueur $L$ et la largeur $\ell$ vérifient $L + \ell = 17$ et $L\ell = 60$ : ce sont les solutions de $x^2 - 17x + 60 = 0$ . $\Delta = 289 - 240 = 49$ ; $x = \dfrac{17 \pm 7}{2}$ : $12$ et $5$ . Le rectangle mesure $12$ cm sur $5$ cm.

4. Signe du trinôme

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Exercice 5 — ⭐⭐

Dresse le tableau de signes de :

$f(x) = x^2 - x - 6$
$g(x) = -2x^2 + 8x - 8$
$h(x) = 3x^2 - 2x + 1$

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$\Delta = 1 + 24 = 25$ , racines $-2$ et $3$ , $a = 1 > 0$ : « $+$ » sur $]-\infty\,;\,-2[$ , $0$ en $-2$ , « $-$ » sur $]-2\,;\,3[$ , $0$ en $3$ , « $+$ » sur $]3\,;\,+\infty[$ .
$\Delta = 64 - 64 = 0$ , racine double $2$ , $a = -2 < 0$ : $g(x) < 0$ pour $x \neq 2$ et $g(2) = 0$ . (En effet $g(x) = -2(x - 2)^2$ .)
$\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$ et $a = 3 > 0$ : $h(x) > 0$ pour tout réel $x$ .

5. Inéquations et problèmes

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Exercice 6 — ⭐⭐

Résous dans $\mathbb{R}$ :

$x^2 - 4x - 5 < 0$
$-x^2 + x + 2 \leqslant 0$
$x^2 \geqslant 3x$
$2x^2 + 3 > x$

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Racines $-1$ et $5$ ( $\Delta = 36$ ), $a > 0$ : négatif entre les racines. $\mathcal{S} = \,]-1\,;\,5[$ .
Racines $-1$ et $2$ ( $\Delta = 9$ ), $a = -1 < 0$ : négatif à l’extérieur. $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,-1] \cup [2\,;\,+\infty[$ .
$x^2 - 3x \geqslant 0 \iff x(x - 3) \geqslant 0$ : racines $0$ et $3$ , $a > 0$ . $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,0] \cup [3\,;\,+\infty[$ . (Diviser par $x$ serait une erreur : on ne connaît pas son signe.)
$2x^2 - x + 3 > 0$ : $\Delta = 1 - 24 < 0$ et $a > 0$ , donc c’est vrai pour tout $x$ . $\mathcal{S} = \mathbb{R}$ .

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

On considère la parabole $\mathcal{P}$ d’équation $y = -x^2 + 4x$ et la droite $\mathcal{D}$ d’équation $y = x - 4$ .

Détermine les coordonnées des points d’intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ .
Sur quel intervalle la parabole est-elle strictement au-dessus de la droite ?

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$-x^2 + 4x = x - 4 \iff -x^2 + 3x + 4 = 0 \iff x^2 - 3x - 4 = 0$ . $\Delta = 25$ ; $x = -1$ ou $x = 4$ . Points : $(-1\,;\,-5)$ et $(4\,;\,0)$ .
$\mathcal{P}$ est au-dessus de $\mathcal{D}$ quand $-x^2 + 4x > x - 4$ , soit $-x^2 + 3x + 4 > 0$ . Racines $-1$ et $4$ , $a = -1 < 0$ : positif entre les racines. Réponse : sur $]-1\,;\,4[$ .

Exercice 8 — ⭐⭐⭐⭐

Soit $m$ un réel. On considère l’équation $(E_m)$ : $x^2 - mx + 4 = 0$ .

Exprime le discriminant de $(E_m)$ en fonction de $m$ .
Pour quelles valeurs de $m$ l’équation a-t-elle une seule solution ? Donne cette solution dans chaque cas.
Pour quelles valeurs de $m$ a-t-elle deux solutions distinctes ?
Vrai ou faux : « si $m > 4$ , alors $(E_m)$ a deux solutions » ? Et la réciproque ?

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$\Delta = (-m)^2 - 4 \times 1 \times 4 = m^2 - 16$ .
$\Delta = 0 \iff m^2 = 16 \iff m = 4$ ou $m = -4$ . La solution est $x_0 = \dfrac{m}{2}$ : $2$ si $m = 4$ , $-2$ si $m = -4$ .
$\Delta > 0 \iff m^2 - 16 > 0$ : c’est une inéquation du second degré en $m$ , de racines $-4$ et $4$ avec $a = 1 > 0$ . Donc $m \in \,]-\infty\,;\,-4[ \cup \,]4\,;\,+\infty[$ .
Vrai : si $m > 4$ , alors $m^2 > 16$ , donc $\Delta > 0$ . La réciproque (« si l’équation a deux solutions, alors $m > 4$ ») est fausse : contre-exemple $m = -5$ ( $\Delta = 9 > 0$ ). « $m > 4$ » est une condition suffisante, mais pas nécessaire.