Première⏱ 5 séances

Second degré : discriminant, racines et signe du trinôme

Ce que tu vas apprendre

Calculer le discriminant et résoudre une équation du second degré
Démontrer les formules de résolution à partir de la forme canonique
Factoriser un trinôme lorsque c'est possible
Utiliser la somme et le produit des racines (racine évidente)
Étudier le signe d'un trinôme et résoudre une inéquation du second degré
Résoudre des problèmes : intersection de courbes, équation à paramètre

Notions clésdiscriminant Δ = b² − 4acracines, racine doublefactorisation d'un trinômesomme et produit des racinesracine évidentesigne du trinômeinéquation du second degré

Ce que tu sais déjà. Tu sais mettre un trinôme sous forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ et le factoriser quand tu connais ses racines (Première — Forme canonique). Tu sais résoudre une équation produit nul et dresser un tableau de signes (Seconde — Fonctions affines et tableaux de signes). Il manque une méthode qui marche toujours pour trouver les racines : c’est le discriminant.

1. Discriminant et résolution de l’équation

Définition. Le discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 0$ ) est le nombre

$\Delta = b^2 - 4ac.$

Propriété (résolution de $ax^2 + bx + c = 0$ ).

Si $\Delta > 0$ : l’équation a deux solutions distinctes $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}$ .
Si $\Delta = 0$ : l’équation a une seule solution (racine double) $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ .
Si $\Delta < 0$ : l’équation n’a aucune solution réelle.

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Résolution de l'équation du second degré

On part de la forme canonique. Comme $a \neq 0$ :

$ax^2 + bx + c = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right] = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right] = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$

car $-\dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . Comme $a \neq 0$ , l’équation équivaut à $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$ , et $4a^2 > 0$ .

Si $\Delta < 0$ : le membre de droite est strictement négatif, alors qu’un carré est positif : aucune solution.
Si $\Delta = 0$ : $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0 \iff x = -\dfrac{b}{2a}$ .
Si $\Delta > 0$ : $\dfrac{\Delta}{4a^2} = \left(\dfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ , et on reconnaît une différence de deux carrés :

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = 0.$

Par la règle du produit nul, $x = \dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}$ ou $x = \dfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a}$ .

Les solutions de ax² + bx + c = 0 sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses : deux points si Δ > 0, un point (le sommet) si Δ = 0, aucun si Δ < 0.

Exemples.

$2x^2 - 3x - 2 = 0$ : $\Delta = 9 + 16 = 25 > 0$ , $\sqrt\Delta = 5$ ; $x_1 = \dfrac{3 - 5}{4} = -\dfrac12$ et $x_2 = \dfrac{3 + 5}{4} = 2$ .

$9x^2 - 12x + 4 = 0$ : $\Delta = 144 - 144 = 0$ ; une solution $x_0 = \dfrac{12}{18} = \dfrac23$ .

$x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ ; aucune solution réelle.

Bon réflexe. Avant de calculer $\Delta$ , regarder si l’équation est incomplète : $3x^2 - 12x = 0$ se factorise directement ( $3x(x - 4) = 0$ ) et $x^2 - 7 = 0$ se résout par $x = \pm\sqrt7$ . Le discriminant marche aussi, mais il est plus long.

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Factoriser un trinôme

Propriété.

Si $\Delta > 0$ : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Si $\Delta = 0$ : $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$ .
Si $\Delta < 0$ : le trinôme ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré.

Exemple. $2x^2 - 3x - 2 = 2\left(x + \dfrac12\right)(x - 2) = (2x + 1)(x - 2)$ (on a distribué le $2$ dans la première parenthèse). Vérification en développant : $2x^2 - 4x + x - 2 = 2x^2 - 3x - 2$ . ✓

Piège. Ne pas oublier le coefficient $a$ devant les parenthèses : $2x^2 - 3x - 2 \neq \left(x + \dfrac12\right)(x - 2)$ .

→ S’entraîner : Exercice 3

3. Somme et produit des racines

Propriété. Si le trinôme $ax^2 + bx + c$ a deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement égales), alors

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad\text{et}\qquad x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}.$

En effet, en développant $a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1x_2$ et en identifiant avec $ax^2 + bx + c$ , on obtient $b = -a(x_1 + x_2)$ et $c = a\,x_1x_2$ .

📋 Méthode — Racine évidente

On teste de petites valeurs ( $1$ , $-1$ , $2$ , $-2$ …). Astuce : $x = 1$ est racine si $a + b + c = 0$ .
Dès qu’on a une racine $x_1$ , on trouve l’autre avec le produit : $x_2 = \dfrac{c}{a\,x_1}$ (ou avec la somme).

Exemple : $3x^2 + 5x - 8$ . On a $3 + 5 - 8 = 0$ , donc $x_1 = 1$ est racine. Produit : $x_1x_2 = \dfrac{-8}{3}$ , donc $x_2 = -\dfrac83$ . Aucun calcul de $\Delta$ n’a été nécessaire.

Application. Trouver deux nombres dont on connaît la somme $S$ et le produit $P$ revient à résoudre $x^2 - Sx + P = 0$ . Exemple : somme $7$ et produit $10$ : $x^2 - 7x + 10 = 0$ , de racines $2$ et $5$ .

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Signe du trinôme

Propriété. Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ .

Si $\Delta > 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines (et nul en $x_1$ et $x_2$ ).
Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$ (et nul en $x_0$ ).
Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ est toujours du signe de $a$ .

Moyen mnémotechnique : « signe de $a$ à l’extérieur des racines ».

Pour a > 0 et Δ > 0 : la parabole est au-dessus de l'axe (f(x) > 0) à l'extérieur des racines, en dessous (f(x) < 0) entre elles.

🧠 Justification (pour aller plus loin) — Pourquoi « signe de a à l'extérieur »

Si $\Delta > 0$ avec $x_1 < x_2$ , on écrit $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ et on dresse le tableau de signes du produit : $(x - x_1)(x - x_2)$ est positif pour $x < x_1$ et pour $x > x_2$ (deux facteurs de même signe), négatif entre les deux. En multipliant par $a$ , on obtient le résultat. Si $\Delta \leqslant 0$ , la forme $a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ montre que le crochet est positif (somme d’un carré et d’un nombre positif) : $f(x)$ a le signe de $a$ .

Exemple. $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ : $\Delta = 4 + 12 = 16$ , racines $-1$ et $3$ , $a = -1 < 0$ . $f(x)$ est négatif à l’extérieur des racines, positif entre elles :

$x$ $-\infty$ $-1$ $3$ $+\infty$
$f(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$f(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Inéquations et problèmes

📋 Méthode — Résoudre une inéquation du second degré

Tout passer d’un même côté pour comparer à $0$ .
Calculer $\Delta$ et les racines éventuelles.
Appliquer la règle du signe (signe de $a$ à l’extérieur des racines).
Lire l’ensemble des solutions en soignant les crochets (racines incluses pour $\leqslant$ ou $\geqslant$ ).

Exemple : $2x^2 + x - 6 \geqslant 0$ . $\Delta = 1 + 48 = 49$ , racines $\dfrac{-1 - 7}{4} = -2$ et $\dfrac{-1 + 7}{4} = \dfrac32$ . $a = 2 > 0$ : positif à l’extérieur. $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,-2] \cup \left[\dfrac32\,;\,+\infty\right[$ .

Cas $\Delta < 0$ : $x^2 + x + 1 > 0$ est vrai pour tout réel ( $a > 0$ ) : $\mathcal{S} = \mathbb{R}$ ; et $x^2 + x + 1 < 0$ n’a aucune solution : $\mathcal{S} = \varnothing$ .

Intersection d’une parabole et d’une droite. Les abscisses des points d’intersection de $y = x^2 - 2x - 1$ et $y = x + 3$ sont les solutions de $x^2 - 2x - 1 = x + 3$ , soit $x^2 - 3x - 4 = 0$ . $\Delta = 9 + 16 = 25$ : $x = -1$ ou $x = 4$ . Points d’intersection : $(-1\,;\,2)$ et $(4\,;\,7)$ . Et la parabole est au-dessus de la droite quand $x^2 - 3x - 4 > 0$ , soit pour $x < -1$ ou $x > 4$ .

Équation avec paramètre. Combien l’équation $x^2 + 2x + m = 0$ a-t-elle de solutions selon le réel $m$ ? $\Delta = 4 - 4m$ . Deux solutions si $m < 1$ , une seule si $m = 1$ , aucune si $m > 1$ .

Logique : condition nécessaire, condition suffisante. « $\Delta > 0$ » est une condition suffisante pour que l’équation ait des solutions, mais pas nécessaire : si $\Delta = 0$ , elle en a une aussi. La condition nécessaire et suffisante est « $\Delta \geqslant 0$ ».

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7 · Exercice 8

À retenir.

$\Delta = b^2 - 4ac$ : deux racines $\dfrac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}$ si $\Delta > 0$ ; une racine $-\dfrac{b}{2a}$ si $\Delta = 0$ ; aucune si $\Delta < 0$ .
Factorisation : $a(x - x_1)(x - x_2)$ , $a(x - x_0)^2$ , ou impossible.
$x_1 + x_2 = -\dfrac ba$ et $x_1x_2 = \dfrac ca$ (racine évidente : $a + b + c = 0$ donne $x = 1$ ).
Signe : signe de $a$ à l’extérieur des racines (et partout si $\Delta < 0$ ).