Première⏱ 1 heure

Second degré : discriminant, racines et signe du trinôme — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Calcule le discriminant de $x^2 + 3x + 2$ .
Résous $x^2 = 16$ .
Quel est le signe de $-x^2 - 1$ pour tout réel $x$ ?
Donne les racines de $(x - 2)(3x + 1)$ .
Développe $(2x - 1)(x + 3)$ .
Calcule $\dfrac12 - \dfrac13$ .
Un prix augmente de $10\,\%$ puis baisse de $10\,\%$ . Par quel nombre a-t-il été multiplié au total ?
Pour quelle valeur de $x$ la fonction $x \mapsto (x - 5)^2 + 1$ atteint-elle son minimum ?

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Soit $a$ , $b$ , $c$ trois réels avec $a \neq 0$ , et $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Montre que, pour tout réel $x$ , $ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ . (2 points)
On suppose $\Delta < 0$ . Explique pourquoi l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'a pas de solution. (1 point)
On suppose $\Delta > 0$ . Déduis de la question 1 les deux solutions de l'équation. (1 point)

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$a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right] = a\left[x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right] = a\left[x^2 + \dfrac ba x + \dfrac{4ac}{4a^2}\right] = a\left[x^2 + \dfrac ba x + \dfrac ca\right] = ax^2 + bx + c$ .
Comme $a \neq 0$ , l'équation équivaut à $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$ . Si $\Delta < 0$ , le membre de droite est strictement négatif ( $4a^2 > 0$ ), alors qu'un carré est positif : pas de solution.
Si $\Delta > 0$ : $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2 = 0$ , soit $\left(x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = 0$ . Produit nul : $x = \dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}$ ou $x = \dfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a}$ .

Résous $3x^2 - 5x - 2 = 0$ puis factorise $3x^2 - 5x - 2$ . (2 points)
Résous $x^2 - 2\sqrt3\,x + 3 = 0$ . (1 point)
Vérifie que $1$ est racine de $5x^2 - 2x - 3$ et déduis-en l'autre racine sans calculer $\Delta$ . (1 point)

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$\Delta = 25 + 24 = 49$ ; $x_1 = \dfrac{5 - 7}{6} = -\dfrac13$ et $x_2 = \dfrac{5 + 7}{6} = 2$ . $3x^2 - 5x - 2 = 3\left(x + \dfrac13\right)(x - 2) = (3x + 1)(x - 2)$ .
$\Delta = (2\sqrt3)^2 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$ : une solution $x_0 = \dfrac{2\sqrt3}{2} = \sqrt3$ . (On reconnaissait aussi $(x - \sqrt3)^2 = 0$ .)
$5 - 2 - 3 = 0$ , donc $1$ est racine. Produit des racines : $\dfrac ca = -\dfrac35$ , donc l'autre racine est $-\dfrac35$ .

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$\Delta = 9 + 16 = 25$ ; racines $\dfrac{-3 - 5}{-4} = 2$ et $\dfrac{-3 + 5}{-4} = -\dfrac12$ . $a = -2 < 0$ : le trinôme est positif entre les racines. $\mathcal{S} = \left]-\dfrac12\,;\,2\right[$ .
$x^2 - 3x + 2 \leqslant 0$ : $\Delta = 9 - 8 = 1$ , racines $1$ et $2$ , $a > 0$ : négatif ou nul entre les racines (incluses). $\mathcal{S} = [1\,;\,2]$ .

Un rectangle mesure $6$ cm sur $4$ cm. On augmente sa longueur et sa largeur d'une même longueur $x$ (en cm, $x \geqslant 0$ ).

Exprime l'aire $A(x)$ du nouveau rectangle en fonction de $x$ , sous forme développée. (1 point)
De combien faut-il augmenter les dimensions pour que l'aire double ? (1,5 point)
Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle au moins égale à $35$ cm² ? (1,5 point)

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$A(x) = (6 + x)(4 + x) = x^2 + 10x + 24$ .
L'aire initiale est $24$ cm² ; on veut $A(x) = 48$ , soit $x^2 + 10x - 24 = 0$ . $\Delta = 100 + 96 = 196$ , $\sqrt\Delta = 14$ : $x = \dfrac{-10 + 14}{2} = 2$ ou $x = \dfrac{-10 - 14}{2} = -12$ (refusé car $x \geqslant 0$ ). Il faut augmenter les dimensions de $2$ cm (le rectangle mesure alors $8$ cm sur $6$ cm : $48$ cm² ✓).
$x^2 + 10x + 24 \geqslant 35 \iff x^2 + 10x - 11 \geqslant 0$ . $\Delta = 100 + 44 = 144$ ; racines $1$ et $-11$ ; $a > 0$ : positif à l'extérieur des racines. Avec $x \geqslant 0$ : $x \geqslant 1$ cm.