Première

Probabilités conditionnelles, probabilités totales et indépendance — Exercices d'application

1. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés (rappels)

Exercice 1 — ⭐

Dans un lycée de $200$ élèves de Première, $120$ sont externes et $80$ demi-pensionnaires. Parmi les externes, $45$ font partie de l’association sportive ; parmi les demi-pensionnaires, $50$ . On choisit un élève au hasard. On note $E$ : « l’élève est externe » et $S$ : « l’élève fait partie de l’association sportive ».

Calcule $P(S)$ .
Calcule $P_E(S)$ et $P_S(E)$ . Explique par une phrase la différence entre les deux.

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$45 + 50 = 95$ élèves font du sport : $P(S) = \dfrac{95}{200} = \dfrac{19}{40} = 0{,}475$ .
$P_E(S) = \dfrac{45}{120} = \dfrac38 = 0{,}375$ : parmi les externes, $37{,}5\,\%$ font du sport. $P_S(E) = \dfrac{45}{95} = \dfrac{9}{19} \approx 0{,}47$ : parmi les sportifs, environ $47\,\%$ sont externes. Ce n’est pas la même population de référence.

2. Formule des probabilités totales

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Exercice 2 — ⭐⭐

Dans une ville, il pleut $30\,\%$ des jours. Un jour de pluie, Samia arrive en retard au travail avec une probabilité de $0{,}4$ ; un jour sans pluie, avec une probabilité de $0{,}1$ . On note $R$ : « il pleut » et $L$ : « Samia est en retard ».

Construis un arbre pondéré.
Calcule la probabilité que Samia soit en retard.
Samia est arrivée en retard. Quelle est la probabilité qu’il ait plu ?

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Premier niveau : $R$ ( $0{,}3$ ) et $\overline R$ ( $0{,}7$ ) ; deuxième niveau : sous $R$ , $L$ ( $0{,}4$ ) et $\overline L$ ( $0{,}6$ ) ; sous $\overline R$ , $L$ ( $0{,}1$ ) et $\overline L$ ( $0{,}9$ ).
$R$ et $\overline R$ forment une partition : $P(L) = 0{,}3 \times 0{,}4 + 0{,}7 \times 0{,}1 = 0{,}12 + 0{,}07 = 0{,}19$ .
$P_L(R) = \dfrac{P(R \cap L)}{P(L)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}19} = \dfrac{12}{19} \approx 0{,}63$ .

Exercice 3 — ⭐⭐⭐

Trois machines fabriquent des bouchons : $M_1$ produit $50\,\%$ des bouchons, $M_2$ en produit $30\,\%$ et $M_3$ le reste. Les taux de bouchons défectueux sont respectivement $1\,\%$ , $2\,\%$ et $4\,\%$ . On prélève un bouchon au hasard.

Calcule la probabilité que le bouchon soit défectueux.
Le bouchon est défectueux. Quelle est la probabilité qu’il provienne de $M_3$ ? Commente.

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$M_1$ , $M_2$ , $M_3$ forment une partition (et $P(M_3) = 0{,}2$ ) : $P(D) = 0{,}5 \times 0{,}01 + 0{,}3 \times 0{,}02 + 0{,}2 \times 0{,}04 = 0{,}005 + 0{,}006 + 0{,}008 = 0{,}019$ .
$P_D(M_3) = \dfrac{0{,}008}{0{,}019} = \dfrac{8}{19} \approx 0{,}42$ . Alors que $M_3$ ne fabrique que $20\,\%$ des bouchons, elle est à l’origine d’environ $42\,\%$ des bouchons défectueux : c’est la machine à surveiller en priorité.

3. Indépendance de deux événements

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Exercice 4 — ⭐⭐

Dans une classe de $30$ élèves, il y a $12$ filles ; $10$ élèves portent des lunettes, dont $4$ filles. On choisit un élève au hasard. Les événements $F$ : « c’est une fille » et $L$ : « il ou elle porte des lunettes » sont-ils indépendants ?
$A$ et $B$ sont tels que $P(A) = 0{,}3$ , $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cup B) = 0{,}65$ . Sont-ils indépendants ?
Deux événements incompatibles de probabilités $0{,}2$ et $0{,}5$ peuvent-ils être indépendants ?

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$P(F) = \dfrac{12}{30} = \dfrac25$ , $P(L) = \dfrac{10}{30} = \dfrac13$ , $P(F \cap L) = \dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15}$ . Et $P(F) \times P(L) = \dfrac25 \times \dfrac13 = \dfrac{2}{15}$ : indépendants (il y a autant de porteurs de lunettes, en proportion, chez les filles que dans la classe).
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}65 = 0{,}15$ et $P(A) \times P(B) = 0{,}15$ : indépendants.
Non : $P(A \cap B) = 0$ alors que $P(A) \times P(B) = 0{,}1 \neq 0$ .

4. Succession d’épreuves indépendantes, épreuves de Bernoulli

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Exercice 5 — ⭐⭐

Un élève répond au hasard à un QCM de $4$ questions ; chaque question a $4$ réponses possibles dont une seule est juste. Les réponses sont indépendantes.

Justifie qu’il s’agit de la répétition de $4$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; donne $p$ .
Calcule la probabilité que toutes les réponses soient justes, puis qu’aucune ne le soit.
Calcule la probabilité qu’au moins une réponse soit juste.
Calcule la probabilité qu’exactement une réponse soit juste.

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Chaque question est une épreuve à deux issues : succès (réponse juste, $p = \dfrac14$ ) ou échec. On la répète $4$ fois, de façon indépendante.
$\left(\dfrac14\right)^4 = \dfrac{1}{256}$ ; $\left(\dfrac34\right)^4 = \dfrac{81}{256}$ .
Événement contraire de « aucune juste » : $1 - \dfrac{81}{256} = \dfrac{175}{256} \approx 0{,}68$ .
Il y a $4$ chemins avec un seul succès (le succès peut être à la 1ʳᵉ, 2ᵉ, 3ᵉ ou 4ᵉ question), chacun de probabilité $\dfrac14 \times \left(\dfrac34\right)^3 = \dfrac{27}{256}$ . Donc $P = 4 \times \dfrac{27}{256} = \dfrac{108}{256} = \dfrac{27}{64} \approx 0{,}42$ .

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Une pièce est truquée : elle tombe sur « pile » avec la probabilité $0{,}6$ . On la lance $3$ fois.

Construis l’arbre et calcule la probabilité d’obtenir exactement $2$ piles.
Calcule la probabilité d’obtenir au moins $2$ piles.
Avec une pièce équilibrée, la probabilité d’obtenir exactement $2$ piles vaut $\dfrac38$ . Compare.

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$3$ chemins avec exactement $2$ piles, chacun de probabilité $0{,}6^2 \times 0{,}4 = 0{,}144$ : $P = 3 \times 0{,}144 = 0{,}432$ .
« Au moins 2 » = « exactement 2 » ou « exactement 3 » (incompatibles) : $0{,}432 + 0{,}6^3 = 0{,}432 + 0{,}216 = 0{,}648$ .
$\dfrac38 = 0{,}375 < 0{,}432$ : le trucage rend « 2 piles » plus probable.

5. Méthode de Monte-Carlo

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐⭐

On veut estimer l’aire $\mathcal{A}$ du domaine situé sous la parabole $y = x^2$ , au-dessus de l’axe des abscisses, pour $x$ entre $0$ et $1$ .

Pourquoi la probabilité qu’un point choisi au hasard dans le carré $[0\,;\,1] \times [0\,;\,1]$ soit sous la parabole est-elle égale à $\mathcal{A}$ ?
Écris une fonction Python aire(n) qui simule $n$ points et renvoie la fréquence des points sous la parabole.
Un appel à aire(100000) renvoie 0.33296. Quelle valeur exacte peut-on conjecturer pour $\mathcal{A}$ ?

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Le carré a une aire de $1$ : la probabilité de tomber dans le domaine est $\dfrac{\mathcal{A}}{1} = \mathcal{A}$ .

from random import random

def aire(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if y <= x**2:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

On conjecture $\mathcal{A} = \dfrac13$ (ce que confirmera le calcul intégral en Terminale).