Probabilités conditionnelles, probabilités totales et indépendance

Ce que tu sais déjà. Depuis le programme 2026, les probabilités conditionnelles et les arbres pondérés sont introduits en Seconde (Seconde — Probabilités conditionnelles). Si tu as suivi l’ancien programme de Seconde, la section 1 ci-dessous reprend l’essentiel — prends le temps de la travailler. Tu connais aussi le vocabulaire des événements (contraire, intersection, réunion) (Seconde — Probabilités).

1. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés (rappels)

Définition. Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est

$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.$$

C’est la probabilité que $B$ se réalise lorsqu’on sait que $A$ est réalisé : l’univers de référence devient $A$.

Conséquence. $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

Arbre pondéré. On représente une expérience en deux étapes par un arbre.

Règles de l’arbre.

1. La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$.
2. Les probabilités du deuxième niveau sont conditionnelles : sur la branche $A \to D$ on lit $P_A(D)$.
3. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D)$.

Exemple. Une usine achète $60\,\%$ de ses pièces au fournisseur A et $40\,\%$ au fournisseur B. $2\,\%$ des pièces de A et $5\,\%$ de celles de B sont défectueuses. On tire une pièce au hasard. $P(A \cap D) = 0{,}6 \times 0{,}02 = 0{,}012$ et $P(B \cap D) = 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}02$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Formule des probabilités totales

Définition. Des événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ forment une partition de l’univers $\Omega$ s’ils sont de probabilités non nulles, deux à deux incompatibles et si leur réunion est $\Omega$ (à chaque issue correspond un et un seul $A_i$). Cas fréquent : $A$ et $\overline{A}$.

Propriété (formule des probabilités totales). Si $A_1, \dots, A_n$ forment une partition de $\Omega$, alors pour tout événement $B$ :

$$P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B).$$

Sur un arbre : la probabilité de $B$ est la somme des probabilités de tous les chemins qui mènent à $B$.

Exemple (suite). $A$ et $B$ forment une partition (chaque pièce vient d’un seul fournisseur) : $P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032$. $3{,}2\,\%$ des pièces sont défectueuses.

Inverser le conditionnement. On peut ensuite « remonter » l’arbre : sachant que la pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle vienne de A ?

$$P_D(A) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375.$$

Attention : $P_D(A)$ (sachant défectueuse, venir de A) et $P_A(D)$ (sachant venir de A, être défectueuse) sont deux nombres différents ($0{,}375$ et $0{,}02$ ici).

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Indépendance de deux événements

Définition. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$$

Propriété. Si $P(A) \neq 0$ : $A$ et $B$ sont indépendants $\iff P_A(B) = P(B)$. Autrement dit, savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$.

Exemple. On lance un dé équilibré. $A$ : « le résultat est pair » ; $B$ : « le résultat est inférieur ou égal à $4$ ». $P(A) = \dfrac12$, $P(B) = \dfrac46 = \dfrac23$, $A \cap B = \{2\,;\,4\}$ donc $P(A \cap B) = \dfrac13$. Et $P(A) \times P(B) = \dfrac12 \times \dfrac23 = \dfrac13$ : $A$ et $B$ sont indépendants. Avec $C$ : « le résultat est inférieur ou égal à $3$ » : $P(A \cap C) = P(\{2\}) = \dfrac16$ mais $P(A) \times P(C) = \dfrac14$ : $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.

Ne pas confondre indépendants et incompatibles. Deux événements incompatibles ($A \cap B = \varnothing$) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : $P(A \cap B) = 0$ alors que $P(A) \times P(B) > 0$. Si l’un se produit, l’autre est impossible : c’est même une très forte dépendance !

Propriété (admise). Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi (ainsi que $A$ et $\overline{B}$, $\overline{A}$ et $\overline{B}$).

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Succession d’épreuves indépendantes, épreuves de Bernoulli

Épreuves indépendantes. Deux épreuves sont indépendantes quand le résultat de la première n’influence pas la seconde (lancers successifs d’une pièce, tirages avec remise…). Sur l’arbre, les probabilités du deuxième niveau ne dépendent alors pas de la branche : ce sont les probabilités « simples » de la seconde épreuve, et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses issues.

Définition. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$, de probabilité $p$, et l’échec $\overline{S}$, de probabilité $1 - p$.

Répétition de $n$ épreuves de Bernoulli (programme 2026 : $n \leqslant 4$). On répète $n$ fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli. On la représente par un arbre à $n$ niveaux ; la probabilité d’un chemin comportant $k$ succès et $n - k$ échecs est $p^k(1 - p)^{n-k}$. Pour trouver la probabilité d’obtenir exactement $k$ succès, on compte les chemins correspondants sur l’arbre et on additionne.

Exemple. Un basketteur réussit un lancer franc avec la probabilité $0{,}7$ ; il tire $3$ fois, les tirs étant indépendants.

• Exactement $2$ réussites : $3$ chemins ($SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$, $\overline{S}SS$), chacun de probabilité $0{,}7^2 \times 0{,}3 = 0{,}147$. Donc $P = 3 \times 0{,}147 = 0{,}441$.
• Au moins une réussite : on passe par le contraire, « aucune réussite », de probabilité $0{,}3^3 = 0{,}027$. Donc $P = 1 - 0{,}027 = 0{,}973$.

Bon réflexe. Pour « au moins un », on calcule presque toujours la probabilité de l’événement contraire (« aucun »), qui correspond à un seul chemin.

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

5. Méthode de Monte-Carlo

Pour estimer une probabilité (ou une aire) difficile à calculer, on simule un très grand nombre de fois l’expérience et on calcule la fréquence de l’événement : d’après la loi des grands nombres (admise), elle se rapproche de la probabilité.

Exemple : estimer $\pi$. On choisit un point $M(x\,;\,y)$ au hasard dans le carré $[0\,;\,1] \times [0\,;\,1]$. Il est dans le quart de disque de centre $O$ et de rayon $1$ si $x^2 + y^2 \leqslant 1$. La probabilité de cet événement est le rapport des aires : $\dfrac{\pi/4}{1} = \dfrac\pi4$. Donc $4 \times$ (fréquence) est une estimation de $\pi$.

from random import random

def estimation_pi(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if x**2 + y**2 <= 1:
            compteur = compteur + 1
    return 4 * compteur / n

print(estimation_pi(100000))   # affiche une valeur proche de 3,14 (différente à chaque exécution)

Remarque. Le résultat change à chaque exécution : c’est une estimation. Plus $n$ est grand, plus elle est en général précise (mais la précision progresse lentement).

→ S’entraîner : Exercice 7

À retenir.

• $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ; $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ ; sur l’arbre : produit le long d’un chemin.
• Probabilités totales : $P(B)$ = somme des probabilités des chemins menant à $B$.
• Indépendance : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$, soit $P_A(B) = P(B)$. Incompatibles ≠ indépendants.
• $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes : chemin à $k$ succès de probabilité $p^k(1 - p)^{n-k}$ ; compter les chemins.
• « Au moins un » : passer par le contraire.