Première⏱ 50 minutes

Probabilités conditionnelles, probabilités totales et indépendance — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Calcule $0{,}3 \times 0{,}5$ .
$P(A) = 0{,}35$ . Que vaut $P(\overline A)$ ?
$P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}5$ . Calcule $P(A \cap B)$ .
Combien font $20\,\%$ de $30\,\%$ ?
Calcule $0{,}2^3$ .
Écris $\dfrac38$ sous forme décimale.
$A$ et $B$ sont indépendants, $P(A) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}4$ . Calcule $P(A \cap B)$ .
Deux branches partent d'un même nœud ; l'une porte $0{,}35$ . Que porte l'autre ?

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$0{,}15$ .
$0{,}65$ .
$0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2$ .
$0{,}2 \times 0{,}3 = 0{,}06$ , soit $6\,\%$ .
$0{,}008$ .
$0{,}375$ .
$0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2$ .
$0{,}65$ .

Exercice 2 (6 points) — Un club sportif

Dans un club, $40\,\%$ des adhérents sont juniors ( $J$ ), les autres sont seniors. $70\,\%$ des juniors font de la compétition ( $C$ ), contre $25\,\%$ des seniors. On choisit un adhérent au hasard.

Construis un arbre pondéré. (1,5 point)
Calcule $P(J \cap C)$ , puis $P(C)$ . (2 points)
L'adhérent choisi fait de la compétition. Quelle est la probabilité que ce soit un junior ? (1,5 point)
Les événements $J$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifie. (1 point)

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Premier niveau : $J$ ( $0{,}4$ ), $\overline J$ ( $0{,}6$ ). Sous $J$ : $C$ ( $0{,}7$ ), $\overline C$ ( $0{,}3$ ). Sous $\overline J$ : $C$ ( $0{,}25$ ), $\overline C$ ( $0{,}75$ ).
$P(J \cap C) = 0{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}28$ . Probabilités totales : $P(C) = 0{,}28 + 0{,}6 \times 0{,}25 = 0{,}28 + 0{,}15 = 0{,}43$ .
$P_C(J) = \dfrac{0{,}28}{0{,}43} = \dfrac{28}{43} \approx 0{,}65$ .
$P(J) \times P(C) = 0{,}4 \times 0{,}43 = 0{,}172 \neq 0{,}28 = P(J \cap C)$ : ils ne sont pas indépendants (on le voyait déjà : $P_J(C) = 0{,}7 \neq P(C) = 0{,}43$ ).

Exercice 3 (5 points) — Des penaltys

Un gardien arrête un penalty avec une probabilité de $0{,}2$ . Il affronte $3$ penaltys ; on suppose les tirs indépendants.

Justifie qu'il s'agit d'une répétition d'épreuves de Bernoulli. (1 point)
Calcule la probabilité qu'il n'arrête aucun penalty. (1 point)
Déduis-en la probabilité qu'il en arrête au moins un. (1 point)
Calcule la probabilité qu'il en arrête exactement un, en expliquant combien de chemins de l'arbre conviennent. (2 points)

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Chaque penalty est une épreuve à deux issues (arrêt, avec $p = 0{,}2$ , ou but) ; on la répète $3$ fois de façon indépendante.
$0{,}8^3 = 0{,}512$ .
$1 - 0{,}512 = 0{,}488$ .
Il y a $3$ chemins avec un seul arrêt (au 1ᵉʳ, au 2ᵉ ou au 3ᵉ tir), chacun de probabilité $0{,}2 \times 0{,}8^2 = 0{,}128$ . Donc $P = 3 \times 0{,}128 = 0{,}384$ .

Exercice 4 (5 points) — Indépendance

$A$ et $B$ sont deux événements indépendants tels que $P(A) = 0{,}6$ et $P(B) = 0{,}3$ .

Calcule $P(A \cap B)$ puis $P(A \cup B)$ . (2 points)
Que vaut $P_A(B)$ ? Justifie sans calcul. (1 point)
Calcule $P(\overline A \cap B)$ (on pourra remarquer que $B$ est la réunion des événements incompatibles $A \cap B$ et $\overline A \cap B$ ), puis vérifie que $\overline A$ et $B$ sont indépendants. (2 points)

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$P(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$ ; $P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}3 - 0{,}18 = 0{,}72$ .
$A$ et $B$ sont indépendants et $P(A) \neq 0$ , donc $P_A(B) = P(B) = 0{,}3$ .
$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline A \cap B)$ , donc $P(\overline A \cap B) = 0{,}3 - 0{,}18 = 0{,}12$ . Et $P(\overline A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ : $\overline A$ et $B$ sont bien indépendants.