Première

Nombre dérivé, tangente et approximation affine — Exercices d'application

1. Taux de variation et sécante

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Exercice 1 — ⭐

Soit $f(x) = x^2 - 3x$ .

Calcule le taux de variation de $f$ entre $2$ et $5$ . Interprète-le graphiquement.
Montre que, pour $h \neq 0$ , le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2 + h$ vaut $1 + h$ .

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$f(2) = 4 - 6 = -2$ et $f(5) = 25 - 15 = 10$ : $\dfrac{10 - (-2)}{5 - 2} = \dfrac{12}{3} = 4$ . C’est le coefficient directeur de la sécante passant par les points de la courbe d’abscisses $2$ et $5$ .
$f(2 + h) = (2 + h)^2 - 3(2 + h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h = h^2 + h - 2$ . Donc $\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \dfrac{h^2 + h - 2 + 2}{h} = \dfrac{h^2 + h}{h} = h + 1$ .

2. Nombre dérivé

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Exercice 2 — ⭐⭐

Reprends l’exercice 1 : que vaut $f'(2)$ ?
Soit $g(x) = 3x^2 + 1$ . Calcule le taux de variation de $g$ entre $-1$ et $-1 + h$ , puis déduis-en $g'(-1)$ .
Soit $k(x) = 5x - 2$ . Montre que, pour tout réel $a$ , $k'(a) = 5$ . Était-ce prévisible ?

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Le taux vaut $1 + h$ , qui tend vers $1$ quand $h$ tend vers $0$ : $f'(2) = 1$ .
$g(-1 + h) = 3(1 - 2h + h^2) + 1 = 3h^2 - 6h + 4$ et $g(-1) = 4$ . Le taux vaut $\dfrac{3h^2 - 6h}{h} = 3h - 6$ , qui tend vers $-6$ : $g'(-1) = -6$ .
$\dfrac{k(a + h) - k(a)}{h} = \dfrac{5(a + h) - 2 - 5a + 2}{h} = \dfrac{5h}{h} = 5$ pour tout $h \neq 0$ : la limite est $5$ . C’était prévisible : la courbe de $k$ est une droite de pente $5$ , qui est sa propre tangente.

3. Tangente à une courbe

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Exercice 3 — ⭐

La tangente à la courbe de $f$ au point $A(1\,;\,3)$ passe par le point $B(3\,;\,7)$ . Que vaut $f'(1)$ ?
On sait que $u(2) = -1$ et $u'(2) = 3$ . Donne une équation de la tangente à la courbe de $u$ au point d’abscisse $2$ .
En quel point une tangente est-elle horizontale ? Que vaut alors le nombre dérivé ?

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$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $(AB)$ : $\dfrac{7 - 3}{3 - 1} = 2$ . Donc $f'(1) = 2$ .
$y = 3(x - 2) + (-1)$ , soit $y = 3x - 7$ .
Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul : le nombre dérivé en ce point vaut $0$ .

Exercice 4 — ⭐⭐⭐

On admet que la fonction cube $f(x) = x^3$ est dérivable en tout réel $a$ , avec $f'(a) = 3a^2$ .

Détermine une équation de la tangente $T_1$ à la courbe au point d’abscisse $1$ , puis de la tangente $T_2$ au point d’abscisse $-2$ .
Vérifie que $x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)$ . Déduis-en les points communs à la courbe et à $T_1$ .

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$f(1) = 1$ , $f'(1) = 3$ : $T_1 : y = 3(x - 1) + 1$ , soit $y = 3x - 2$ . $f(-2) = -8$ , $f'(-2) = 12$ : $T_2 : y = 12(x + 2) - 8$ , soit $y = 12x + 16$ .
$(x - 1)^2(x + 2) = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2 = x^3 - 3x + 2$ . ✓ Les points communs vérifient $x^3 = 3x - 2$ , soit $(x - 1)^2(x + 2) = 0$ : $x = 1$ (le point de contact) ou $x = -2$ . La tangente $T_1$ recoupe donc la courbe au point $(-2\,;\,-8)$ : une tangente peut traverser la courbe ailleurs qu’au point de contact !

4. Approximation affine

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Exercice 5 — ⭐⭐

Sans calculatrice, donne une valeur approchée de chaque nombre à l’aide de l’approximation affine.

$2{,}01^3$ (on utilisera $f(x) = x^3$ , $a = 2$ et $f'(2) = 12$ ).
$\dfrac{1}{0{,}98}$ (on utilisera $g(x) = \dfrac1x$ , $a = 1$ et $g'(1) = -1$ ).
$1{,}03^2$ (on utilisera $f(x) = x^2$ , $a = 1$ et $f'(1) = 2$ ).

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$h = 0{,}01$ : $2{,}01^3 \approx 8 + 0{,}01 \times 12 = 8{,}12$ . (Valeur exacte : $8{,}120\,601$ .)
$h = -0{,}02$ : $\dfrac{1}{0{,}98} \approx 1 + (-0{,}02) \times (-1) = 1{,}02$ . (Valeur exacte : $1{,}020\,4\dots$ )
$h = 0{,}03$ : $1{,}03^2 \approx 1 + 0{,}03 \times 2 = 1{,}06$ . (Valeur exacte : $1{,}060\,9$ .) Deux hausses successives de $3\,\%$ font donc environ $+6\,\%$ , un peu plus en réalité.

5. Fonctions non dérivables en un point

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Calcule le taux de variation de la fonction racine carrée entre $0$ et $h$ pour $h = 0{,}01$ , puis pour $h = 0{,}000\,1$ . Que constates-tu ?
Soit $f(x) = |x - 2|$ . Calcule le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2 + h$ selon le signe de $h$ . $f$ est-elle dérivable en $2$ ?

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$\dfrac{\sqrt{0{,}01}}{0{,}01} = \dfrac{0{,}1}{0{,}01} = 10$ et $\dfrac{\sqrt{0{,}000\,1}}{0{,}000\,1} = \dfrac{0{,}01}{0{,}000\,1} = 100$ . Plus $h$ est petit, plus le taux est grand : il tend vers $+\infty$ , la racine carrée n’est pas dérivable en $0$ .
$f(2 + h) - f(2) = |h| - 0 = |h|$ , donc $\tau(h) = \dfrac{|h|}{h}$ : il vaut $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$ . Il ne tend pas vers un nombre unique : $f$ n’est pas dérivable en $2$ (la courbe forme un angle au point $(2\,;\,0)$ ).

Exercice 7 — ⭐⭐⭐⭐

On veut observer numériquement le nombre dérivé de $f(x) = x^3$ en $a = 1$ .

def f(x):
    return x ** 3

def pentes(a, liste_h):
    """Renvoie la liste des coefficients directeurs des sécantes entre a et a + h."""
    L = []
    for h in liste_h:
        L.append((f(a + h) - f(a)) / h)
    return L

print(pentes(1, [1, 0.1, 0.01, 0.001]))

Que calcule chaque élément de la liste renvoyée ?
Le programme affiche environ [7.0, 3.31, 3.0301, 3.003001]. Quelle valeur de $f'(1)$ peut-on conjecturer ?
Démontre cette conjecture en calculant le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1 + h$ (on développera $(1 + h)^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3$ ).

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Pour chaque $h$ de la liste, le coefficient directeur de la sécante entre les points d’abscisses $1$ et $1 + h$ , c’est-à-dire le taux de variation $\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h}$ .
Les pentes se rapprochent de $3$ quand $h$ diminue : on conjecture $f'(1) = 3$ .
$\dfrac{(1 + h)^3 - 1}{h} = \dfrac{3h + 3h^2 + h^3}{h} = 3 + 3h + h^2$ , qui tend vers $3$ quand $h$ tend vers $0$ . Donc $f'(1) = 3$ . (On retrouve $3a^2$ pour $a = 1$ , comme dans l’exercice 4.)