Première⏱ 50 minutes

Nombre dérivé, tangente et approximation affine — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Quel est le coefficient directeur de la droite passant par $(1\,;\,2)$ et $(3\,;\,8)$ ?
Donne l'équation réduite de la droite de pente $-2$ passant par $(0\,;\,5)$ .
Développe $(2 + h)^2$ .
Simplifie $\dfrac{6h + h^2}{h}$ pour $h \neq 0$ .
Calcule $\sqrt{0{,}04}$ .
Résous $3x - 1 = 0$ .
Calcule $1{,}1^2$ .
Calcule $30\,\%$ de $20$ .

Voir le corrigé

$\dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ .
$y = -2x + 5$ .
$4 + 4h + h^2$ .
$6 + h$ .
$0{,}2$ .
$x = \dfrac13$ .
$1{,}21$ .
$6$ .

Exercice 2 (5 points) — Tangente

Démontre que, si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à sa courbe au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ . (2 points)
Soit $f(x) = x^2 + x$ . Calcule le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1 + h$ , puis déduis-en $f'(1)$ . (2 points)
Donne une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ . (1 point)

Voir le corrigé

La tangente a pour coefficient directeur $f'(a)$ : son équation est de la forme $y = f'(a)\,x + p$ . Elle passe par $A(a\,;\,f(a))$ , donc $f(a) = f'(a)\,a + p$ et $p = f(a) - a\,f'(a)$ . D'où $y = f'(a)\,x + f(a) - a\,f'(a) = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
$f(1 + h) = (1 + h)^2 + 1 + h = h^2 + 3h + 2$ et $f(1) = 2$ . Le taux vaut $\dfrac{h^2 + 3h}{h} = h + 3$ , qui tend vers $3$ quand $h$ tend vers $0$ : $f'(1) = 3$ .
$y = 3(x - 1) + 2$ , soit $y = 3x - 1$ .

Exercice 3 (4 points) — Lecture et utilisation de nombres dérivés

On sait que $f(0) = 1$ , $f'(0) = 2$ , $f(2) = 3$ et $f'(2) = 0$ .

Donne une équation de la tangente $T_0$ au point d'abscisse $0$ et de la tangente $T_2$ au point d'abscisse $2$ . (2 points)
L'une de ces tangentes est horizontale : laquelle ? Pourquoi ? (1 point)
Détermine le point d'intersection de $T_0$ et $T_2$ . (1 point)

Voir le corrigé

$T_0 : y = 2(x - 0) + 1$ , soit $y = 2x + 1$ . $T_2 : y = 0 \times (x - 2) + 3$ , soit $y = 3$ .
$T_2$ est horizontale, car son coefficient directeur $f'(2)$ est nul.
$2x + 1 = 3 \iff x = 1$ : les tangentes se coupent en $(1\,;\,3)$ .

Exercice 4 (4 points) — Approximation affine

On admet que la fonction inverse $g(x) = \dfrac1x$ vérifie $g'(2) = -\dfrac14$ . Donne une valeur approchée de $\dfrac{1}{2{,}1}$ . (2 points)
On admet que la fonction carré vérifie $f'(3) = 6$ . Donne une valeur approchée de $3{,}02^2$ , puis compare avec la valeur exacte. (2 points)

Voir le corrigé

$a = 2$ , $h = 0{,}1$ : $\dfrac{1}{2{,}1} \approx g(2) + 0{,}1 \times g'(2) = 0{,}5 - \dfrac{0{,}1}{4} = 0{,}5 - 0{,}025 = 0{,}475$ . (Valeur exacte : $0{,}476\dots$ )
$a = 3$ , $h = 0{,}02$ : $3{,}02^2 \approx 9 + 0{,}02 \times 6 = 9{,}12$ . Valeur exacte : $3{,}02^2 = 9 + 2 \times 3 \times 0{,}02 + 0{,}02^2 = 9{,}120\,4$ . L'erreur vaut $h^2 = 0{,}000\,4$ : elle est très petite parce que $h$ l'est.

Exercice 5 (3 points) — Démonstration

Démontre que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ . Donne l'interprétation graphique de ce résultat.

Voir le corrigé

Pour $h > 0$ , le taux de variation de $\sqrt{\ }$ entre $0$ et $h$ vaut $\dfrac{\sqrt h - \sqrt 0}{h} = \dfrac{\sqrt h}{h} = \dfrac{1}{\sqrt h}$ . Quand $h$ tend vers $0$ (par valeurs positives), $\sqrt h$ tend vers $0$ et $\dfrac{1}{\sqrt h}$ devient aussi grand qu'on veut (par exemple $100$ pour $h = 0{,}000\,1$ ) : le taux tend vers $+\infty$ et n'a pas de limite finie. La fonction racine carrée n'est donc pas dérivable en $0$ . Graphiquement, sa courbe admet à l'origine une tangente verticale.