Première⏱ 4 séances

Nombre dérivé, tangente et approximation affine

Ce que tu vas apprendre

Calculer un taux de variation et l'interpréter comme la pente d'une sécante
Comprendre le nombre dérivé comme limite du taux de variation
Lire graphiquement un nombre dérivé comme pente d'une tangente
Démontrer et utiliser l'équation de la tangente
Calculer une valeur approchée de f(a + h) par l'approximation affine
Démontrer que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0

Notions cléstaux de variationsécantenombre dérivé f'(a)tangente, y = f'(a)(x − a) + f(a)approximation affine f(a + h) ≈ f(a) + h f'(a)fonction non dérivable en un point

Ce que tu sais déjà. Le coefficient directeur d’une droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ vaut $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , et une droite de pente $m$ passant par $A$ a pour équation $y = m(x - x_A) + y_A$ (Seconde — Droites du plan). Pour une fonction affine, le taux d’accroissement est constant (Seconde — Fonctions affines). Pour une fonction quelconque, il ne l’est plus : c’est le point de départ de ce chapitre.

1. Taux de variation et sécante

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , $a$ un réel de $I$ et $h$ un réel non nul tel que $a + h \in I$ . Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est

$\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.$

Interprétation graphique. Si $A(a\,;\,f(a))$ et $M(a + h\,;\,f(a + h))$ sont deux points de la courbe, $\tau(h)$ est le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ .

Interprétation physique. Si $f(t)$ est une distance parcourue à l’instant $t$ , le taux de variation entre $a$ et $a + h$ est la vitesse moyenne sur cet intervalle de temps.

Exemple. $f(x) = x^2$ et $a = 1$ : $\tau(h) = \dfrac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h$ (pour $h \neq 0$ ). Entre $1$ et $3$ ( $h = 2$ ), la sécante a pour pente $4$ ; entre $1$ et $1{,}5$ ( $h = 0{,}5$ ), elle a pour pente $2{,}5$ .

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Nombre dérivé

Quand $h$ se rapproche de $0$ , le point $M$ se rapproche de $A$ sur la courbe. Dans l’exemple précédent, $\tau(h) = 2 + h$ se rapproche de $2$ .

Définition. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation $\tau(h)$ tend vers un nombre réel $L$ quand $h$ tend vers $0$ . Ce nombre s’appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$ :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.$

Exemples.

$f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $\tau(h) = 2 + h \to 2$ , donc $f'(1) = 2$ .

$g(x) = \dfrac1x$ en $a = 1$ : $\tau(h) = \dfrac{\frac{1}{1 + h} - 1}{h} = \dfrac{1 - (1 + h)}{h(1 + h)} = \dfrac{-1}{1 + h} \to -1$ , donc $g'(1) = -1$ .

Interprétations. $f'(a)$ mesure la vitesse de variation de $f$ « juste autour » de $a$ : c’est la vitesse instantanée en physique, le coût marginal en économie.

Remarque (programme 2026). Au chapitre suivant, on n’aura presque plus besoin de revenir à cette limite : on utilisera des formules de dérivation. Elle sert à comprendre ce que mesure $f'(a)$ et à démontrer ces formules.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Tangente à une courbe

Courbe de x² : quand M se rapproche de A(1 ; 1), les sécantes (AM) « tournent » et se rapprochent de la tangente en A, de pente f'(1) = 2.

Définition. Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(a\,;\,f(a))$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$ . C’est la « position limite » des sécantes $(AM)$ quand $M$ se rapproche de $A$ .

Propriété. Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $a$ est

$y = f'(a)\,(x - a) + f(a).$

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Équation de la tangente

La tangente a pour coefficient directeur $f'(a)$ : elle n’est pas verticale et admet une équation réduite de la forme $y = f'(a)\,x + p$ .

Elle passe par $A(a\,;\,f(a))$ , donc les coordonnées de $A$ vérifient l’équation : $f(a) = f'(a) \times a + p$ , d’où $p = f(a) - a\,f'(a)$ .

Une équation de la tangente est donc $y = f'(a)\,x + f(a) - a\,f'(a)$ , c’est-à-dire $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$ .

Exemple. Tangente à la courbe de $x^2$ au point d’abscisse $1$ : $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$ , donc $y = 2(x - 1) + 1$ , soit $y = 2x - 1$ .

Lecture graphique. Sur un graphique, $f'(a)$ se lit comme le coefficient directeur de la tangente en $A$ : on se déplace de $1$ vers la droite depuis un point de la tangente et on regarde de combien on monte (ou on descend). Une tangente horizontale correspond à $f'(a) = 0$ .

Pour f(x) = −x²/2 + 2x + 1 : tangente de pente 2 en 0, tangente horizontale en 2 (f'(2) = 0), tangente de pente −1 en 3.

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Approximation affine

Près du point $A$ , la courbe et sa tangente sont presque confondues. On peut donc remplacer $f$ par la fonction affine « tangente » pour faire des calculs approchés.

Propriété (approximation affine). Si $f$ est dérivable en $a$ , alors pour $h$ proche de $0$ :

$f(a + h) \approx f(a) + h\,f'(a).$

La fonction $h \mapsto f(a) + h\,f'(a)$ est la fonction affine tangente : son graphe (en fonction de $x = a + h$ ) est la tangente en $A$ .

Exemples.

$f(x) = x^2$ , $a = 1$ , $h = 0{,}01$ : $1{,}01^2 \approx 1 + 0{,}01 \times 2 = 1{,}02$ . (Valeur exacte : $1{,}020\,1$ .)

$g(x) = \dfrac1x$ , $a = 1$ , $h = 0{,}02$ : $\dfrac{1}{1{,}02} \approx 1 + 0{,}02 \times (-1) = 0{,}98$ . (Valeur exacte : $0{,}980\,39\dots$ )

Remarque. L’approximation est d’autant meilleure que $h$ est petit. C’est le principe de nombreuses règles « de calcul rapide » : par exemple, pour un petit pourcentage $t$ , $(1 + t)^2 \approx 1 + 2t$ .

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Fonctions non dérivables en un point

Une fonction peut être définie en $a$ sans y être dérivable : le taux de variation n’a alors pas de limite finie quand $h$ tend vers $0$ .

Propriété. La fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$ .

🧠 Démonstration (exigible au programme) — La racine carrée n'est pas dérivable en 0

Pour $h > 0$ : $\tau(h) = \dfrac{\sqrt{0 + h} - \sqrt0}{h} = \dfrac{\sqrt h}{h} = \dfrac{\sqrt h}{\sqrt h \times \sqrt h} = \dfrac{1}{\sqrt h}$ .

Quand $h$ se rapproche de $0$ (en restant positif), $\sqrt h$ se rapproche de $0$ et $\dfrac{1}{\sqrt h}$ devient aussi grand qu’on veut : par exemple $\tau(0{,}01) = 10$ , $\tau(0{,}000\,1) = 100$ , $\tau(10^{-10}) = 10^5$ . Le taux de variation tend vers $+\infty$ : il n’a pas de limite finie, donc la fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$ .

Interprétation graphique : la courbe de $\sqrt x$ admet en l’origine une tangente verticale (qui n’a pas de coefficient directeur).

Exemple (valeur absolue en 0). Pour $f(x) = |x|$ et $a = 0$ : $\tau(h) = \dfrac{|h|}{h}$ , qui vaut $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$ . Le taux ne se rapproche pas d’un nombre unique : la valeur absolue n’est pas dérivable en $0$ . La courbe présente en l’origine un « point anguleux » (deux demi-tangentes de pentes $-1$ et $1$ ).

À gauche, la courbe de √x part verticalement de l'origine ; à droite, celle de |x| forme un angle en l'origine. Dans les deux cas, pas de nombre dérivé en 0.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

Taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ = pente de la sécante.
$f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ (quand cette limite existe et est finie) = pente de la tangente.
Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Approximation affine : $f(a + h) \approx f(a) + h\,f'(a)$ pour $h$ petit.
$\sqrt x$ et $|x|$ ne sont pas dérivables en $0$ .