Première

La fonction exponentielle — Exercices d'application

1. Définition

Donne une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d’abscisse $0$ .
On applique la méthode d’Euler avec un pas $h = 0{,}25$ en partant de $f(0) = 1$ . Calcule les valeurs approchées obtenues en $0{,}25$ et en $0{,}5$ .
On donne $e^{0{,}5} \approx 1{,}649$ . L’approximation est-elle par excès ou par défaut ?

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$\exp(0) = 1$ et $\exp'(0) = \exp(0) = 1$ : $y = 1 \times (x - 0) + 1$ , soit $y = x + 1$ .
À chaque pas, on multiplie par $1 + h = 1{,}25$ : $f(0{,}25) \approx 1{,}25$ et $f(0{,}5) \approx 1{,}25^2 = 1{,}562\,5$ .
$1{,}562\,5 < 1{,}649$ : c’est une approximation par défaut (la ligne brisée d’Euler reste sous la courbe).

Écris sous la forme la plus simple possible (pour tout réel $x$ ).

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$A = e^{3 - 5} = e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$ .
$B = e^{4x} \times e^{-x} = e^{3x}$ .
$C = e^{(x+1) - (x-1)} = e^2$ (ne dépend pas de $x$ !).
$D = (e^x)^2 + 2e^x e^{-x} + (e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$ (car $e^x e^{-x} = e^0 = 1$ ).
$E = e^x e^{-x} - e^x = 1 - e^x$ .

Résous dans $\mathbb{R}$ :

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$e = e^1$ , donc $3x - 2 = 1$ , $x = 1$ .
$1 = e^0$ , donc $x^2 - x = 0 \iff x(x - 1) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 1$ .
$2x > -x + 6 \iff 3x > 6 \iff x > 2$ : $\mathcal{S} = \,]2\,;\,+\infty[$ .
$e^x = -3$ est impossible car $e^x > 0$ : $\mathcal{S} = \varnothing$ .
$e^x - 1 \geqslant 0 \iff e^x \geqslant e^0 \iff x \geqslant 0$ : $e^x - 1$ est négatif avant $0$ , positif après. $x - 2$ change de signe en $2$ . Tableau de signes : le produit est positif sur $]-\infty\,;\,0[$ , négatif sur $]0\,;\,2[$ , positif sur $]2\,;\,+\infty[$ . $\mathcal{S} = [0\,;\,2]$ .

Calcule la dérivée de chaque fonction et factorise-la.

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Soit $f(x) = (x^2 - 3)e^x$ sur $\mathbb{R}$ .

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$f'(x) = 2x\,e^x + (x^2 - 3)e^x = (x^2 + 2x - 3)e^x = (x - 1)(x + 3)e^x$ .
$e^x > 0$ : $f'(x)$ a le signe du trinôme $(x - 1)(x + 3)$ , positif à l’extérieur de $[-3\,;\,1]$ . $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,-3]$ , décroissante sur $[-3\,;\,1]$ , croissante sur $[1\,;\,+\infty[$ . Maximum local $f(-3) = 6e^{-3}$ ; minimum local $f(1) = -2e$ .
$f(0) = -3$ et $f'(0) = (-1) \times 3 \times 1 = -3$ : $y = -3x - 3$ .

Un échantillon radioactif contient $N(t) = 1\,000\,e^{-0{,}2t}$ noyaux (en milliards), $t$ en années.

Étudie le sens de variation de $N$ .
Montre que les nombres $N(0), N(1), N(2), \dots$ forment une suite géométrique ; donne sa raison. Sachant que $e^{-0{,}2} \approx 0{,}819$ , de quel pourcentage le nombre de noyaux diminue-t-il chaque année ?
Sachant que $e^{-1} \approx 0{,}368$ , donne une valeur approchée de $N(5)$ .

Complète le programme pour qu’il renvoie la première année entière où

N

passe sous

100

:

from math import exp
def seuil():
    n = 0
    while 1000 * exp(-0.2 * n) >= ...:
        n = ...
    return n

Il renvoie 12. Interprète.

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$N'(t) = 1\,000 \times (-0{,}2)e^{-0{,}2t} = -200\,e^{-0{,}2t} < 0$ : $N$ est strictement décroissante.
$N(n + 1) = 1\,000\,e^{-0{,}2n - 0{,}2} = N(n) \times e^{-0{,}2}$ : suite géométrique de raison $e^{-0{,}2} \approx 0{,}819$ . Chaque année, le nombre de noyaux est multiplié par environ $0{,}819$ : il diminue d’environ $18\,\%$ .
$N(5) = 1\,000\,e^{-1} \approx 368$ milliards de noyaux.
while 1000 * exp(-0.2 * n) >= 100: puis n = n + 1. $N(11) \approx 111$ et $N(12) \approx 91$ : c’est au bout de 12 ans que le nombre de noyaux passe sous $100$ milliards (il a été divisé par 10).

Démontre que, pour tout réel $x$ , $e^x \geqslant x + 1$ . (On étudiera $d(x) = e^x - x - 1$ .)
Interprète graphiquement.
Déduis-en, sans calculatrice, que $e^{0{,}01} \geqslant 1{,}01$ et que $e^{-0{,}5} \geqslant 0{,}5$ .

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$d'(x) = e^x - 1$ . Comme $\exp$ est strictement croissante, $e^x - 1 > 0 \iff e^x > e^0 \iff x > 0$ : $d$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ . Son minimum est $d(0) = 1 - 0 - 1 = 0$ , donc $d(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ , soit $e^x \geqslant x + 1$ .
La courbe de l’exponentielle est au-dessus de sa tangente $y = x + 1$ au point d’abscisse $0$ .
Avec $x = 0{,}01$ : $e^{0{,}01} \geqslant 1{,}01$ . Avec $x = -0{,}5$ : $e^{-0{,}5} \geqslant 0{,}5$ .