La fonction exponentielle

Ce que tu sais déjà. Tu connais les suites géométriques $u_n = u_0 \times q^n$ et les puissances (Première — Suites arithmétiques et géométriques), les règles de calcul sur les puissances (Seconde — Puissances) et le lien entre signe de la dérivée et variations (Première — Dérivation et variations). L’exponentielle prolonge les puissances « à tous les réels ».

1. Définition

Théorème (admis). Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que

$$f' = f \qquad\text{et}\qquad f(0) = 1.$$

Cette fonction s’appelle la fonction exponentielle et se note $\exp$.

Notation. On pose $e = \exp(1) \approx 2{,}718$ et on note $\exp(x) = e^x$ pour tout réel $x$ (on justifiera cette notation au paragraphe suivant : l’exponentielle se comporte comme une puissance).

Conséquences immédiates. $e^0 = 1$ et, pour tout réel $x$, $(e^x)' = e^x$ : la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ a pour pente $e^0 = 1$ ; son équation est $y = x + 1$.

Construire la courbe pas à pas (méthode d’Euler). Puisque $f' = f$, l’approximation affine donne $f(x + h) \approx f(x) + h\,f'(x) = f(x)(1 + h)$. En partant de $f(0) = 1$ avec un pas $h$ petit, on obtient des valeurs approchées de $\exp$ en multipliant à chaque pas par $1 + h$.

def euler(x, n):
    """Valeur approchée de exp(x) (x > 0) avec n pas de longueur x / n."""
    h = x / n
    y = 1
    for i in range(n):
        y = y * (1 + h)
    return y

print(euler(1, 10))     # affiche 2.5937424601000023
print(euler(1, 1000))   # affiche environ 2.7169

On retrouve une valeur approchée de $e$, de mieux en mieux quand le pas diminue : c’est la suite $\left(1 + \dfrac1n\right)^n$, qui se rapproche de $e$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Propriétés algébriques

Propriété. Pour tous réels $a$ et $b$, et tout entier relatif $n$ :

Ce sont exactement les règles des puissances : c’est ce qui justifie la notation $e^x$.

Exemples. Simplifier :

• $e^{2x} \times e^{-x + 3} = e^{2x - x + 3} = e^{x + 3}$ ;
• $\dfrac{(e^x)^3}{e^{2x}} = \dfrac{e^{3x}}{e^{2x}} = e^{x}$ ;
• $\dfrac{e^{5} \times e^{-2}}{e^{4}} = e^{5 - 2 - 4} = e^{-1} = \dfrac1e$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Signe, variations et courbe

Propriété.

• Pour tout réel $x$, $e^x > 0$.
• La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

En effet, $e^x = \left(e^{x/2}\right)^2 \geqslant 0$ (règle des puissances avec $n = 2$) et $e^x \neq 0$, donc $e^x > 0$. Et $\exp' = \exp > 0$, donc $\exp$ est strictement croissante.

Conséquence (équations et inéquations). Pour tous réels $a$ et $b$ :

$$e^a = e^b \iff a = b \qquad\text{et}\qquad e^a < e^b \iff a < b.$$

Exemples.

• $e^{2x - 1} = e^{x + 3} \iff 2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$.
• $e^{x^2} = e^{4x - 3} \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \iff x = 1$ ou $x = 3$.
• $e^{3x} \leqslant e^{x + 2} \iff 3x \leqslant x + 2 \iff x \leqslant 1$ : $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,1]$.
• $e^x = -2$ n’a aucune solution, car $e^x > 0$.

Piège. $e^{a} + e^{b} \neq e^{a+b}$ : c’est le produit qui se transforme en somme d’exposants, pas la somme.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Dériver avec l’exponentielle

Propriété (nouveau programme 2026). Pour tout réel $a$, la fonction $t \mapsto e^{at}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et

$$\left(e^{at}\right)' = a\,e^{at}.$$

Exemples. $(e^{3t})' = 3e^{3t}$ ; $(e^{-t})' = -e^{-t}$ ; $\left(5e^{-0{,}2t}\right)' = 5 \times (-0{,}2)\,e^{-0{,}2t} = -e^{-0{,}2t}$.

On combine avec les formules du produit et du quotient.

Exemple (étude de variations). $f(x) = (x - 2)e^x$ sur $\mathbb{R}$. Produit : $u = x - 2$, $u' = 1$, $v = e^x$, $v' = e^x$. $f'(x) = e^x + (x - 2)e^x = (x - 1)e^x$. Comme $e^x > 0$, $f'(x)$ a le signe de $x - 1$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,1]$, croissante sur $[1\,;\,+\infty[$, et son minimum vaut $f(1) = -e$.

Bon réflexe. Après avoir dérivé, on factorise par $e^{\dots}$ : ce facteur est toujours strictement positif, et le signe de la dérivée se lit sur l’autre facteur.

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

5. Exponentielle et suites géométriques

Propriété. Pour tout réel $a$, la suite $(e^{na})_{n \in \mathbb{N}}$ est géométrique de raison $e^a$, car $e^{(n+1)a} = e^{na} \times e^{a}$.

Plus généralement, les valeurs de $t \mapsto C\,e^{at}$ aux instants $0, 1, 2, \dots$ forment la suite géométrique $C \times (e^a)^n$ : une fonction $t \mapsto C\,e^{at}$ est la version « en temps continu » d’une suite géométrique. Réciproquement, on admet que pour tout $q > 0$, il existe un réel $a$ tel que $e^a = q$ : une suite géométrique de raison $q > 0$ peut toujours être prolongée par une fonction $t \mapsto C e^{at}$.

Modélisation. Une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à la grandeur ($f' = kf$) évolue de façon exponentielle : $f(t) = f(0)\,e^{kt}$.

• $k > 0$ : croissance exponentielle (population bactérienne, capital à taux continu) ;
• $k < 0$ : décroissance exponentielle (désintégration radioactive, élimination d’un médicament).

Exemple. La concentration d’un médicament dans le sang (en mg/L) est modélisée par $C(t) = 100\,e^{-0{,}1t}$, $t$ en heures. $C'(t) = -10\,e^{-0{,}1t} < 0$ : la concentration diminue. Toutes les heures, elle est multipliée par $e^{-0{,}1} \approx 0{,}905$ : elle baisse d’environ $9{,}5\,\%$ par heure. Les valeurs $C(0), C(1), C(2), \dots$ forment une suite géométrique de raison $e^{-0{,}1}$.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

• $\exp' = \exp$, $e^0 = 1$, $e \approx 2{,}718$.
• $e^{a+b} = e^a e^b$ ; $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ ; $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ ; $(e^a)^n = e^{na}$.
• $e^x > 0$ ; $\exp$ strictement croissante ; $e^a = e^b \iff a = b$ ; $e^a < e^b \iff a < b$.
• $(e^{at})' = a e^{at}$ ; factoriser par l’exponentielle pour étudier un signe.
• $t \mapsto Ce^{at}$ aux instants entiers = suite géométrique de raison $e^a$.