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Première⏱ 50 minutes

La fonction exponentielle — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

  1. Que vaut e0e^0 ?
  2. Simplifie e2×e3e^2 \times e^3.
  3. Simplifie e−x×exe^{-x} \times e^x.
  4. Dérive x↦e4xx \mapsto e^{4x}.
  5. Quel est le signe de −ex-e^x ?
  6. Résous ex=1e^x = 1.
  7. Calcule 1,0521{,}05^2.
  8. Compare e2e^2 et e3e^3.
Voir le corrigé
  1. 11.
  2. e5e^5.
  3. e0=1e^0 = 1.
  4. 4e4x4e^{4x}.
  5. Strictement négatif (car ex>0e^x > 0).
  6. x=0x = 0.
  7. 1,102 51{,}102\,5.
  8. e2<e3e^2 < e^3 (la fonction exponentielle est strictement croissante et 2<32 < 3).

Exercice 2 (5 points) — Calculs

  1. Simplifie A=e2x+1×e1−xexA = \dfrac{e^{2x + 1} \times e^{1 - x}}{e^x}. (1,5 point)
  2. Résous ex2=e2x+3e^{x^2} = e^{2x + 3}. (2 points)
  3. Résous e1−2x⩾1e^{1 - 2x} \geqslant 1. (1,5 point)
Voir le corrigé
  1. A=e(2x+1)+(1−x)−x=e2A = e^{(2x + 1) + (1 - x) - x} = e^{2}.
  2. x2=2x+3  ⟺  x2−2x−3=0x^2 = 2x + 3 \iff x^2 - 2x - 3 = 0. Δ=4+12=16\Delta = 4 + 12 = 16 : x=−1x = -1 ou x=3x = 3.
  3. e1−2x⩾e0  ⟺  1−2x⩾0  ⟺  x⩽12e^{1 - 2x} \geqslant e^0 \iff 1 - 2x \geqslant 0 \iff x \leqslant \dfrac12 : S=]−∞ ; 12]\mathcal{S} = \left]-\infty\,;\,\dfrac12\right].

Exercice 3 (6 points) — Étude de fonction

Soit f(x)=(1−x)exf(x) = (1 - x)e^x sur R\mathbb{R}.

  1. Montre que f′(x)=−x exf'(x) = -x\,e^x. (1,5 point)
  2. Dresse le tableau de variations de ff. (2 points)
  3. Déduis-en que, pour tout réel xx, (1−x)ex⩽1(1 - x)e^x \leqslant 1. (1 point)
  4. Donne une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 11. (1,5 point)
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  1. u=1−xu = 1 - x, u′=−1u' = -1 ; v=exv = e^x, v′=exv' = e^x. f′(x)=−ex+(1−x)ex=(−1+1−x)ex=−x exf'(x) = -e^x + (1 - x)e^x = (-1 + 1 - x)e^x = -x\,e^x.
  2. ex>0e^x > 0 : f′(x)f'(x) a le signe de −x-x, positif pour x<0x < 0 et négatif pour x>0x > 0. ff est croissante sur ]−∞ ; 0]]-\infty\,;\,0] et décroissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ ; maximum f(0)=1f(0) = 1.
  3. Le maximum de ff sur R\mathbb{R} vaut 11, donc f(x)⩽1f(x) \leqslant 1 pour tout réel xx.
  4. f(1)=0f(1) = 0 et f′(1)=−ef'(1) = -e : y=−e(x−1)y = -e(x - 1), soit y=−ex+ey = -ex + e.

Exercice 4 (5 points) — Une population de bactéries

Le nombre de bactéries dans une culture est modélisé par P(t)=500 e0,3tP(t) = 500\,e^{0{,}3t}, où tt est le temps en heures.

  1. Calcule P(0)P(0) et interprète. (0,5 point)
  2. Calcule P′(t)P'(t) et montre que P′(t)=0,3 P(t)P'(t) = 0{,}3\,P(t). Que peut-on dire de la vitesse de croissance ? (1,5 point)
  3. Justifie que PP est croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. (1 point)
  4. Montre que les valeurs P(0),P(1),P(2),…P(0), P(1), P(2), \dots forment une suite géométrique. On donne e0,3≈1,35e^{0{,}3} \approx 1{,}35 : de quel pourcentage la population augmente-t-elle chaque heure ? (1 point)
  5. On donne e0,6≈1,82e^{0{,}6} \approx 1{,}82. Donne une valeur approchée de P(2)P(2). (1 point)
Voir le corrigé
  1. P(0)=500P(0) = 500 : il y a 500500 bactéries au départ.
  2. P′(t)=500×0,3 e0,3t=150 e0,3t=0,3×500 e0,3t=0,3 P(t)P'(t) = 500 \times 0{,}3\,e^{0{,}3t} = 150\,e^{0{,}3t} = 0{,}3 \times 500\,e^{0{,}3t} = 0{,}3\,P(t). La vitesse de croissance est proportionnelle au nombre de bactéries : plus il y en a, plus elles se multiplient vite.
  3. P′(t)=150 e0,3t>0P'(t) = 150\,e^{0{,}3t} > 0 : PP est strictement croissante.
  4. P(n+1)=500 e0,3n e0,3=P(n)×e0,3P(n + 1) = 500\,e^{0{,}3n}\,e^{0{,}3} = P(n) \times e^{0{,}3} : suite géométrique de raison e0,3≈1,35e^{0{,}3} \approx 1{,}35. La population augmente d'environ 35 %35\,\% par heure.
  5. P(2)=500 e0,6≈500×1,82=910P(2) = 500\,e^{0{,}6} \approx 500 \times 1{,}82 = 910 bactéries.