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Première

Fonction dérivée : dérivées usuelles et opérations — Exercices d'application

1. Fonction dérivée

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Exercice 1 — ⭐

Soit f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x, définie sur R\mathbb{R}.

  1. Calcule f′(x)f'(x).
  2. Calcule f′(3)f'(3) et f′(−1)f'(-1).
  3. Pour quelle valeur de xx la tangente à la courbe de ff est-elle horizontale ?
Voir le corrigé
  1. f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4.
  2. f′(3)=2f'(3) = 2 et f′(−1)=−6f'(-1) = -6.
  3. Tangente horizontale   ⟺  f′(x)=0  ⟺  2x−4=0  ⟺  x=2\iff f'(x) = 0 \iff 2x - 4 = 0 \iff x = 2.

2. Dérivées des fonctions de référence

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Exercice 2 — ⭐

Donne la dérivée de chaque fonction (en précisant où elle est dérivable si ce n’est pas sur R\mathbb{R}).

  1. f1(x)=x5f_1(x) = x^5
  2. f2(x)=1x2f_2(x) = \dfrac{1}{x^2}
  3. f3(x)=x−4f_3(x) = x^{-4}
  4. f4(x)=7f_4(x) = 7
  5. f5(x)=−3x+2f_5(x) = -3x + 2
  6. f6(x)=xf_6(x) = \sqrt x ; calcule aussi f6′(9)f_6'(9).
Voir le corrigé
  1. f1′(x)=5x4f_1'(x) = 5x^4.
  2. f2(x)=x−2f_2(x) = x^{-2}, donc f2′(x)=−2x−3=−2x3f_2'(x) = -2x^{-3} = -\dfrac{2}{x^3} sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[ et sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.
  3. f3′(x)=−4x−5=−4x5f_3'(x) = -4x^{-5} = -\dfrac{4}{x^5} sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[ et sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.
  4. f4′(x)=0f_4'(x) = 0.
  5. f5′(x)=−3f_5'(x) = -3.
  6. f6′(x)=12xf_6'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x} sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ ; f6′(9)=12×3=16f_6'(9) = \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16.

3. Opérations sur les fonctions dérivables

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Exercice 3 — ⭐⭐

Calcule la dérivée de chaque fonction.

  1. f(x)=2x3−x2+5x−1f(x) = 2x^3 - x^2 + 5x - 1
  2. g(x)=x44−3xg(x) = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3}{x} sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[
  3. h(x)=5x−xh(x) = 5\sqrt x - x sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[
Voir le corrigé
  1. f′(x)=6x2−2x+5f'(x) = 6x^2 - 2x + 5.
  2. g′(x)=4x34−3×(−1x2)=x3+3x2g'(x) = \dfrac{4x^3}{4} - 3 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = x^3 + \dfrac{3}{x^2}.
  3. h′(x)=52x−1h'(x) = \dfrac{5}{2\sqrt x} - 1.

Exercice 4 — ⭐⭐

Calcule la dérivée de chaque produit, puis simplifie.

  1. f(x)=(3x−1)(x2+2)f(x) = (3x - 1)(x^2 + 2) ; vérifie ton résultat en développant d’abord f(x)f(x).
  2. g(x)=x (1−x)g(x) = \sqrt x\,(1 - x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.
  3. k(x)=(x2+1)(x3−x)k(x) = (x^2 + 1)(x^3 - x).
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  1. u=3x−1u = 3x - 1, u′=3u' = 3 ; v=x2+2v = x^2 + 2, v′=2xv' = 2x. f′(x)=3(x2+2)+(3x−1)×2x=3x2+6+6x2−2x=9x2−2x+6f'(x) = 3(x^2 + 2) + (3x - 1) \times 2x = 3x^2 + 6 + 6x^2 - 2x = 9x^2 - 2x + 6. Vérification : f(x)=3x3−x2+6x−2f(x) = 3x^3 - x^2 + 6x - 2, donc f′(x)=9x2−2x+6f'(x) = 9x^2 - 2x + 6. ✓
  2. u=xu = \sqrt x, u′=12xu' = \dfrac{1}{2\sqrt x} ; v=1−xv = 1 - x, v′=−1v' = -1. g′(x)=1−x2x−x=1−x−2x2x=1−3x2xg'(x) = \dfrac{1 - x}{2\sqrt x} - \sqrt x = \dfrac{1 - x - 2x}{2\sqrt x} = \dfrac{1 - 3x}{2\sqrt x}.
  3. k′(x)=2x(x3−x)+(x2+1)(3x2−1)=2x4−2x2+3x4−x2+3x2−1=5x4−1k'(x) = 2x(x^3 - x) + (x^2 + 1)(3x^2 - 1) = 2x^4 - 2x^2 + 3x^4 - x^2 + 3x^2 - 1 = 5x^4 - 1.

4. Calculer une dérivée : méthode

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Exercice 5 — ⭐⭐⭐

Calcule la dérivée de chaque fonction sur l’intervalle indiqué.

  1. f(x)=xx2+1f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1} sur R\mathbb{R}
  2. g(x)=x+22x−1g(x) = \dfrac{x + 2}{2x - 1} sur ]12 ; +∞[\left]\dfrac12\,;\,+\infty\right[
  3. h(x)=3x2+x+1h(x) = \dfrac{3}{x^2 + x + 1} sur R\mathbb{R} (justifie d’abord que le dénominateur ne s’annule pas)
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  1. u=xu = x, u′=1u' = 1 ; v=x2+1v = x^2 + 1, v′=2xv' = 2x. f′(x)=(x2+1)−x×2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2f'(x) = \dfrac{(x^2 + 1) - x \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}.
  2. u′=1u' = 1, v′=2v' = 2. g′(x)=(2x−1)−2(x+2)(2x−1)2=−5(2x−1)2g'(x) = \dfrac{(2x - 1) - 2(x + 2)}{(2x - 1)^2} = \dfrac{-5}{(2x - 1)^2}.
  3. x2+x+1x^2 + x + 1 a pour discriminant 1−4=−3<01 - 4 = -3 < 0 et a=1>0a = 1 > 0 : il est toujours strictement positif. h=3×1vh = 3 \times \dfrac1v avec v′=2x+1v' = 2x + 1 : h′(x)=3×(−2x+1(x2+x+1)2)=−3(2x+1)(x2+x+1)2h'(x) = 3 \times \left(-\dfrac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2}\right) = -\dfrac{3(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}.

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Un élève écrit : « f(x)=x2xf(x) = x^2\sqrt x, donc f′(x)=2x×12x=xf'(x) = 2x \times \dfrac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x. »

  1. Quelle erreur a-t-il commise ?
  2. Calcule correctement f′(x)f'(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et montre que f′(x)=52xxf'(x) = \dfrac52 x\sqrt x.
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  1. Il a multiplié les dérivées : (uv)′=u′v′(uv)' = u'v', ce qui est faux.
  2. u=x2u = x^2, u′=2xu' = 2x ; v=xv = \sqrt x, v′=12xv' = \dfrac{1}{2\sqrt x}. f′(x)=2xx+x22xf'(x) = 2x\sqrt x + \dfrac{x^2}{2\sqrt x}. Or x22x=x2x2x=xx2\dfrac{x^2}{2\sqrt x} = \dfrac{x^2\sqrt x}{2x} = \dfrac{x\sqrt x}{2}. Donc f′(x)=2xx+12xx=52xxf'(x) = 2x\sqrt x + \dfrac12 x\sqrt x = \dfrac52 x\sqrt x.

5. Applications : tangentes et approximations

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Exercice 7 — ⭐⭐

Soit f(x)=x2+3xf(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x} sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  1. Montre que f′(x)=x2−3x2f'(x) = \dfrac{x^2 - 3}{x^2}.
  2. Donne une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 11.
  3. En quel point la tangente est-elle horizontale ?
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  1. On peut écrire f(x)=x+3xf(x) = x + \dfrac3x, donc f′(x)=1−3x2=x2−3x2f'(x) = 1 - \dfrac{3}{x^2} = \dfrac{x^2 - 3}{x^2}. (Avec la formule du quotient : 2x×x−(x2+3)x2=x2−3x2\dfrac{2x \times x - (x^2 + 3)}{x^2} = \dfrac{x^2 - 3}{x^2}, même résultat.)
  2. f(1)=4f(1) = 4 et f′(1)=−2f'(1) = -2 : y=−2(x−1)+4y = -2(x - 1) + 4, soit y=−2x+6y = -2x + 6.
  3. f′(x)=0  ⟺  x2=3  ⟺  x=3f'(x) = 0 \iff x^2 = 3 \iff x = \sqrt3 (car x>0x > 0). f(3)=63=23f(\sqrt3) = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3 : le point est (3 ; 23)(\sqrt3\,;\,2\sqrt3).

Exercice 8 — ⭐⭐⭐⭐

  1. À l’aide de l’approximation affine de x\sqrt x en 99, donne une valeur approchée de 9,2\sqrt{9{,}2}.
  2. Une entreprise fabrique qq milliers d’objets pour un coût C(q)=q3−6q2+15q+20C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q + 20 (en milliers d’euros), avec q∈[0 ; 10]q \in [0\,;\,10]. Le coût marginal est C′(q)C'(q). a) Calcule C′(q)C'(q), puis C(3)C(3) et C′(3)C'(3). b) Déduis-en une valeur approchée du coût de production de 3 1003\,100 objets.
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  1. f(9)=3f(9) = 3 et f′(9)=12×3=16f'(9) = \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16. Avec h=0,2h = 0{,}2 : 9,2≈3+0,26=3+130≈3,033\sqrt{9{,}2} \approx 3 + \dfrac{0{,}2}{6} = 3 + \dfrac{1}{30} \approx 3{,}033. (Valeur exacte : 3,033 1…3{,}033\,1\dots)
  2. a) C′(q)=3q2−12q+15C'(q) = 3q^2 - 12q + 15 ; C(3)=27−54+45+20=38C(3) = 27 - 54 + 45 + 20 = 38 ; C′(3)=27−36+15=6C'(3) = 27 - 36 + 15 = 6. b) 3 1003\,100 objets correspondent à q=3,1=3+0,1q = 3{,}1 = 3 + 0{,}1 : C(3,1)≈C(3)+0,1×C′(3)=38+0,6=38,6C(3{,}1) \approx C(3) + 0{,}1 \times C'(3) = 38 + 0{,}6 = 38{,}6, soit environ 38 60038\,600 €. (Valeur exacte : 38,63138{,}631.) Le coût marginal donne le coût approximatif d’un millier d’objets supplémentaires.