Première⏱ 1 heure

Fonction dérivée : dérivées usuelles et opérations — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Dérive $x \mapsto x^4$ .
Soit $g(x) = \dfrac1x$ . Calcule $g'(2)$ .
Soit $r(x) = \sqrt x$ . Calcule $r'(4)$ .
Développe $(x + 1)(x - 1)$ .
Écris $\dfrac1x - \dfrac{1}{x^2}$ sous la forme d'une seule fraction.
Soit $f(x) = 3x^2$ . Calcule $f'(1)$ .
Quel est le signe de $(x - 2)^2$ ?
Calcule $5\,\%$ de $60$ .

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$4x^3$ .
$g'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ , donc $g'(2) = -\dfrac14$ .
$r'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}$ , donc $r'(4) = \dfrac14$ .
$x^2 - 1$ .
$\dfrac{x - 1}{x^2}$ .
$f'(x) = 6x$ , donc $f'(1) = 6$ .
Positif ou nul (nul seulement en $2$ ).
$3$ .

Exercice 2 (5 points) — Démonstrations

Démontre que la fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que sa dérivée est $x \mapsto 2x$ . (2 points)
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$ , $a \in I$ et $h \neq 0$ . a) Vérifie que $u(a + h)v(a + h) - u(a)v(a) = \big[u(a + h) - u(a)\big]v(a + h) + u(a)\big[v(a + h) - v(a)\big]$ . (1 point) b) Déduis-en la formule de la dérivée d'un produit (on admettra que $v(a + h)$ tend vers $v(a)$ quand $h$ tend vers $0$ ). (2 points)

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Pour tout réel $a$ et $h \neq 0$ : $\dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$ , qui tend vers $2a$ quand $h$ tend vers $0$ . Donc la fonction carré est dérivable en tout $a$ , avec $f'(a) = 2a$ : $f'(x) = 2x$ .
a) On développe le membre de droite : $u(a + h)v(a + h) - u(a)v(a + h) + u(a)v(a + h) - u(a)v(a) = u(a + h)v(a + h) - u(a)v(a)$ . ✓ b) En divisant par $h$ : $\dfrac{(uv)(a + h) - (uv)(a)}{h} = \dfrac{u(a + h) - u(a)}{h}\,v(a + h) + u(a)\,\dfrac{v(a + h) - v(a)}{h}$ . Quand $h$ tend vers $0$ , cela tend vers $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ . Donc $uv$ est dérivable en $a$ et $(uv)' = u'v + uv'$ .

Exercice 3 (5 points) — Calculs de dérivées

Calcule la dérivée de chaque fonction et simplifie.

$f(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 3$ sur $\mathbb{R}$ . (1 point)
$g(x) = (2x + 3)\sqrt x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ . (1,5 point)
$h(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2}$ sur $]-2\,;\,+\infty[$ . (1,5 point)
$k(x) = \dfrac{1}{2x + 5}$ sur $\left]-\dfrac52\,;\,+\infty\right[$ . (1 point)

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$f'(x) = -6x^2 + 8x - 1$ .
$u = 2x + 3$ , $u' = 2$ ; $v = \sqrt x$ , $v' = \dfrac{1}{2\sqrt x}$ . $g'(x) = 2\sqrt x + \dfrac{2x + 3}{2\sqrt x} = \dfrac{4x + 2x + 3}{2\sqrt x} = \dfrac{6x + 3}{2\sqrt x}$ .
$h'(x) = \dfrac{1 \times (x + 2) - (x - 1) \times 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{3}{(x + 2)^2}$ .
$v = 2x + 5$ , $v' = 2$ : $k'(x) = -\dfrac{2}{(2x + 5)^2}$ .

Exercice 4 (4 points) — Tangentes

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$ .

Calcule $f'(x)$ . (0,5 point)
Donne une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ . (1,5 point)
En quels points la tangente est-elle parallèle à la droite d'équation $y = 9x$ ? (2 points)

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$f'(x) = 3x^2 - 3$ .
$f(0) = 1$ et $f'(0) = -3$ : $y = -3x + 1$ .
Tangente parallèle à $y = 9x$ $\iff f'(x) = 9 \iff 3x^2 = 12 \iff x^2 = 4 \iff x = 2$ ou $x = -2$ . $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ et $f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1$ : les points sont $(2\,;\,3)$ et $(-2\,;\,-1)$ .

Exercice 5 (2 points) — Approximation

À l'aide de l'approximation affine de la fonction racine carrée en $16$ , donne une valeur approchée de $\sqrt{16{,}4}$ .

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$f(16) = 4$ et $f'(16) = \dfrac{1}{2 \times 4} = \dfrac18$ . Avec $h = 0{,}4$ : $\sqrt{16{,}4} \approx 4 + 0{,}4 \times \dfrac18 = 4 + 0{,}05 = 4{,}05$ .