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Fonction dérivée : dérivées usuelles et opérations

Ce que tu vas apprendre

Comprendre la notion de fonction dérivée
Connaître les dérivées des fonctions de référence, dont x ↦ xⁿ pour n entier relatif
Démontrer les dérivées des fonctions carré et inverse, et la formule du produit
Calculer la dérivée d'une somme, d'un produit par un réel, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient
Utiliser la dérivée pour écrire une équation de tangente ou une approximation affine

Notions clésfonction dérivée f'dérivées usuelles : xⁿ, 1/x, √xfonctions cube et racine carrée(u + v)' , (ku)'(uv)' = u'v + uv'(1/v)' et (u/v)'

Ce que tu sais déjà. Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite du taux de variation et la pente de la tangente au point d’abscisse $a$ (Première — Nombre dérivé et tangente). Tu connais les fonctions carré, inverse et affines (Seconde — Fonctions de référence). Plutôt que de recalculer une limite pour chaque valeur de $a$ , on va obtenir une formule valable pour tout $a$ .

1. Fonction dérivée

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Si $f$ est dérivable en tout réel $x$ de $I$ , on dit que $f$ est dérivable sur $I$ , et la fonction qui à tout $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ s’appelle la fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ .

Exemple. Pour $f(x) = x^2$ , le calcul du chapitre précédent, fait en un réel $a$ quelconque, donne $\dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h \to 2a$ . Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 2x$ .

En haut, la courbe de x² et quelques tangentes ; en bas, la courbe de la dérivée 2x : sa valeur en chaque x est la pente de la tangente au-dessus (−2 en −1, 0 en 0, 2 en 1, 4 en 2).

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Dérivées des fonctions de référence

Fonction $f$	Dérivée $f'$	Dérivable sur
$f(x) = k$ (constante)	$f'(x) = 0$	$\mathbb{R}$
$f(x) = mx + p$	$f'(x) = m$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x^2$	$f'(x) = 2x$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x^3$ (fonction cube)	$f'(x) = 3x^2$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x^n$ ( $n \geqslant 1$ entier)	$f'(x) = nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$f(x) = \dfrac1x$	$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$
$f(x) = \dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$ ( $n \geqslant 1$ entier)	$f'(x) = -\dfrac{n}{x^{n+1}}$	$]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$
$f(x) = \sqrt x$ (fonction racine carrée)	$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}$	$]0\,;\,+\infty[$ (pas en $0$ )

Remarque. La formule $(x^n)' = nx^{n-1}$ est valable pour tout entier relatif $n$ (sur $\mathbb{R}^*$ si $n < 0$ ) : pour $n = -1$ , elle redonne $\left(\dfrac1x\right)' = -1 \times x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$ .

Nouveau en Première (programme 2026) : cube et racine carrée. Ces deux fonctions deviennent des fonctions de référence : $x \mapsto x^3$ est définie et croissante sur $\mathbb{R}$ , $x \mapsto \sqrt x$ est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ et croissante ; leurs dérivées ( $3x^2 \geqslant 0$ et $\dfrac{1}{2\sqrt x} > 0$ ) le confirmeront au chapitre suivant.

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Dérivée de la fonction carré

Soit $a$ un réel et $h \neq 0$ . $\dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \dfrac{h(2a + h)}{h} = 2a + h$ .

Quand $h$ tend vers $0$ , $2a + h$ tend vers $2a$ . La fonction carré est donc dérivable en tout réel $a$ , et sa dérivée est $x \mapsto 2x$ .

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Dérivée de la fonction inverse

Soit $a \neq 0$ et $h \neq 0$ assez petit pour que $a + h \neq 0$ (et du même signe que $a$ ).

$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac1a}{h} = \frac{a - (a + h)}{a(a + h)} \times \frac1h = \frac{-h}{a(a + h)\,h} = \frac{-1}{a(a + h)}.$

Quand $h$ tend vers $0$ , $a(a + h)$ tend vers $a^2$ , donc le taux tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$ . La fonction inverse est dérivable en tout réel $a \neq 0$ , et sa dérivée est $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$ .

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Opérations sur les fonctions dérivables

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , et $k$ un réel.

Opération	Formule
Somme	$(u + v)' = u' + v'$
Produit par un réel	$(ku)' = k\,u'$
Produit	$(uv)' = u'v + uv'$
Inverse ( $v$ ne s’annule pas sur $I$ )	$\left(\dfrac1v\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$
Quotient ( $v$ ne s’annule pas sur $I$ )	$\left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

Attention. La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées : $(uv)' \neq u'v'$ . Par exemple $x^2 = x \times x$ , mais $2x \neq 1 \times 1$ .

Quand u et v augmentent un peu, l'aire uv gagne deux bandes (u·Δv et v·Δu) et un petit coin Δu·Δv, négligeable : c'est l'idée de la formule (uv)' = u'v + uv'.

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Dérivée d'un produit

Soit $a \in I$ et $h \neq 0$ tel que $a + h \in I$ . On ajoute et on retranche $u(a)\,v(a + h)$ :

$\frac{u(a + h)v(a + h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a + h) - u(a)}{h} \times v(a + h) + u(a) \times \frac{v(a + h) - v(a)}{h}.$

Quand $h$ tend vers $0$ : $\dfrac{u(a + h) - u(a)}{h}$ tend vers $u'(a)$ , $\dfrac{v(a + h) - v(a)}{h}$ tend vers $v'(a)$ , et $v(a + h)$ tend vers $v(a)$ (on admet qu’une fonction dérivable en $a$ vérifie cette propriété). Le taux tend donc vers $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ : $uv$ est dérivable en $a$ et $(uv)' = u'v + uv'$ .

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Calculer une dérivée : méthode

📋 Méthode — Dériver une expression

Reconnaître la forme globale : somme ? produit ? quotient ? (on regarde la dernière opération qu’on ferait pour calculer $f(x)$ ).
Nommer $u$ et $v$ , puis écrire $u'$ et $v'$ à part.
Appliquer la formule, puis simplifier (souvent : factoriser, réduire au même dénominateur).
Préciser l’intervalle sur lequel le calcul est valable (valeurs interdites, $\sqrt x$ en $0$ …).

Exemple 1 (somme). $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ : $f'(x) = 4 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 12x^2 - 10x + 7$ .

Exemple 2 (produit). $f(x) = (x^2 + 1)\sqrt x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ . $u(x) = x^2 + 1$ , $u'(x) = 2x$ ; $v(x) = \sqrt x$ , $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}$ . $f'(x) = 2x\sqrt x + (x^2 + 1) \times \dfrac{1}{2\sqrt x} = \dfrac{4x^2 + x^2 + 1}{2\sqrt x} = \dfrac{5x^2 + 1}{2\sqrt x}$ (on a écrit $2x\sqrt x = \dfrac{2x\sqrt x \times 2\sqrt x}{2\sqrt x} = \dfrac{4x^2}{2\sqrt x}$ ).

Exemple 3 (quotient). $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ sur $]3\,;\,+\infty[$ . $u = 2x + 1$ , $u' = 2$ ; $v = x - 3$ , $v' = 1$ . $f'(x) = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1) \times 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}$ .

Exemple 4 (inverse). $g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ ( $x^2 + 1$ ne s’annule jamais) : $v = x^2 + 1$ , $v' = 2x$ , donc $g'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ .

Astuce. Avant de dériver, on peut parfois simplifier : $\dfrac{x^2 + 3x}{x} = x + 3$ pour $x \neq 0$ , et $\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$ se dérive directement en $-3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}$ .

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

5. Applications : tangentes et approximations

Avec les formules, les questions du chapitre précédent deviennent rapides.

Exemple (tangente). $f(x) = x^3 - 2x$ . $f'(x) = 3x^2 - 2$ . Au point d’abscisse $1$ : $f(1) = -1$ , $f'(1) = 1$ , donc la tangente a pour équation $y = 1 \times (x - 1) - 1$ , soit $y = x - 2$ .

Exemple (tangentes parallèles à une droite). En quels points la courbe de $f(x) = x^3 - 2x$ a-t-elle une tangente parallèle à la droite $y = 10x$ ? Il faut $f'(x) = 10$ , soit $3x^2 = 12$ , $x = 2$ ou $x = -2$ .

Exemple (approximation). $\sqrt{4{,}1}$ avec $f(x) = \sqrt x$ , $a = 4$ , $h = 0{,}1$ : $f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt4} = \dfrac14$ , donc $\sqrt{4{,}1} \approx 2 + 0{,}1 \times \dfrac14 = 2{,}025$ . (Valeur exacte : $2{,}024\,8\dots$ )

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8

À retenir.

$(x^n)' = nx^{n-1}$ ( $n \in \mathbb{Z}$ ) ; $\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt x)' = \dfrac{1}{2\sqrt x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .
$(u + v)' = u' + v'$ ; $(ku)' = ku'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$ ; $\left(\dfrac1v\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ ; $\left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Méthode : forme globale → $u$ , $v$ , $u'$ , $v'$ → formule → simplification → intervalle.