Première

Modéliser une variation quadratique — Exercices d'application

1. Fonctions polynômes de degré 2 et paraboles

Exercice 1 — ⭐

Pour chaque fonction, donne $a$ , dis si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas, et si la fonction admet un maximum ou un minimum.

$f(x) = 3x^2$
$g(x) = -x^2 + 4$
$h(x) = 2 - 0{,}5x^2$
$k(x) = (x - 1)(x + 3)$

Donne ensuite le sommet des trois premières paraboles.

Voir le corrigé

$a = 3 > 0$ : vers le haut, minimum ; sommet $O(0\,;\,0)$ .
$a = -1 < 0$ : vers le bas, maximum ; sommet $(0\,;\,4)$ .
$a = -0{,}5 < 0$ : vers le bas, maximum ; sommet $(0\,;\,2)$ .
En développant, $k(x) = x^2 + 2x - 3$ : $a = 1 > 0$ , vers le haut, minimum.

2. Axe de symétrie et sommet

↩ Revoir le cours

Exercice 2 — ⭐⭐

Une parabole passe par les points $A(-2\,;\,5)$ et $B(6\,;\,5)$ . Quelle est l’équation de son axe de symétrie ?
Soit $f(x) = x^2 - 6x + 2$ . Résous $f(x) = 2$ , puis déduis-en l’axe de symétrie et le sommet de la parabole.
Soit $g(x) = -3x^2 + 12x$ . Détermine son sommet.

Voir le corrigé

$A$ et $B$ ont la même ordonnée : l’axe est $x = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2$ .
$x^2 - 6x + 2 = 2 \iff x(x - 6) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 6$ . Axe : $x = 3$ . Sommet : $f(3) = 9 - 18 + 2 = -7$ , donc $S(3\,;\,-7)$ .
$g(x) = 0 \iff -3x(x - 4) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 4$ . Axe $x = 2$ ; $g(2) = -12 + 24 = 12$ : sommet $S(2\,;\,12)$ .

3. Variations et extremum

↩ Revoir le cours

Exercice 3 — ⭐⭐

Dresse le tableau de variations de $f(x) = x^2 - 6x + 2$ (exercice 2) et donne son extremum.
Même question pour $g(x) = -3x^2 + 12x$ .
Sans calcul, compare $f(1)$ et $f(5)$ , puis $f(4)$ et $f(5)$ .

Voir le corrigé

$a = 1 > 0$ , sommet $(3\,;\,-7)$ : $f$ décroît sur $]-\infty\,;\,3]$ , croît sur $[3\,;\,+\infty[$ . Minimum $-7$ en $x = 3$ .
$a = -3 < 0$ , sommet $(2\,;\,12)$ : $g$ croît sur $]-\infty\,;\,2]$ , décroît sur $[2\,;\,+\infty[$ . Maximum $12$ en $x = 2$ .
$1$ et $5$ sont symétriques par rapport à $3$ : $f(1) = f(5)$ . Sur $[3\,;\,+\infty[$ , $f$ est croissante et $4 < 5$ , donc $f(4) < f(5)$ .

4. Forme factorisée : racines et signe

↩ Revoir le cours

Exercice 4 — ⭐⭐

Soit $f(x) = -2(x - 1)(x - 7)$ .

Donne les racines de $f$ .
Détermine l’axe de symétrie et le sommet.
Dresse le tableau de signes de $f(x)$ .
Résous $f(x) > 0$ .

Voir le corrigé

$f(x) = 0 \iff x = 1$ ou $x = 7$ .
Axe $x = 4$ ; $f(4) = -2 \times 3 \times (-3) = 18$ : sommet $S(4\,;\,18)$ (maximum, $a < 0$ ).
$a = -2 < 0$ : $f(x)$ est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles.

$x$ $-\infty$ $1$ $7$ $+\infty$
Signe de $f(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$
$f(x) > 0 \iff x \in \,]1\,;\,7[$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$7$		$+\infty$
Signe de $f(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

Associe chaque expression à sa description, en justifiant.

Expression	Description
$f_1(x) = 2(x - 1)(x - 3)$	a. parabole tournée vers le bas, de sommet $(0\,;\,4)$
$f_2(x) = -x^2 + 4$	b. parabole tournée vers le haut, qui coupe l’axe des abscisses en $1$ et $3$
$f_3(x) = x^2 - 4x$	c. parabole tournée vers le haut, passant par l’origine, de sommet $(2\,;\,-4)$
$f_4(x) = -(x + 2)(x - 2)$	d. même courbe que $f_2$

Voir le corrigé

$f_1$ → b : $a = 2 > 0$ , racines $1$ et $3$ .
$f_2$ → a : $a = -1 < 0$ , forme $ax^2 + c$ avec $c = 4$ .
$f_3$ → c : $f_3(x) = x(x - 4)$ , racines $0$ et $4$ , axe $x = 2$ , $f_3(2) = -4$ .
$f_4$ → d : $-(x + 2)(x - 2) = -(x^2 - 4) = -x^2 + 4 = f_2(x)$ .

5. Modéliser avec une parabole

↩ Revoir le cours

Exercice 6 — ⭐⭐

On dispose de $40$ m de clôture pour fermer un enclos rectangulaire le long d’un mur (le mur forme un côté, la clôture les trois autres). On note $x$ la largeur (côtés perpendiculaires au mur), en mètres.

Justifie que la longueur parallèle au mur vaut $40 - 2x$ et que l’aire est $A(x) = x(40 - 2x)$ , pour $0 < x < 20$ .
Écris $A(x)$ sous forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ et donne ses racines.
Pour quelle largeur l’aire est-elle maximale ? Quelle est cette aire ?

Voir le corrigé

Les deux largeurs utilisent $2x$ mètres ; il reste $40 - 2x$ pour la longueur. Aire : $x(40 - 2x)$ .
$A(x) = -2x(x - 20)$ : racines $0$ et $20$ .
$a = -2 < 0$ : maximum sur l’axe $x = 10$ . $A(10) = 10 \times 20 = 200$ m² (enclos de $10$ m sur $20$ m).

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Chute d’un objet. Un objet est lâché d’une hauteur de $45$ m. Sa hauteur (en m) au bout de $t$ secondes est modélisée par $h(t) = 45 - 5t^2$ .

Quelle est l’allure de la courbe de $h$ ? Quel est son sommet ?
Factorise $45 - 5t^2$ (on pourra mettre $5$ en facteur puis utiliser une identité remarquable).
Au bout de combien de temps l’objet touche-t-il le sol ?
Quelle distance parcourt-il pendant la première seconde ? pendant la troisième ? La variation est-elle linéaire ?

Voir le corrigé

$a = -5 < 0$ : parabole tournée vers le bas, de sommet $(0\,;\,45)$ (forme $at^2 + c$ ). Sur $[0\,;\,+\infty[$ , $h$ décroît.
$45 - 5t^2 = 5(9 - t^2) = 5(3 - t)(3 + t) = -5(t - 3)(t + 3)$ .
$h(t) = 0$ pour $t = 3$ ( $t = -3$ n’a pas de sens ici) : au bout de $3$ s.
$h(0) = 45$ , $h(1) = 40$ , $h(2) = 25$ , $h(3) = 0$ : $5$ m la première seconde, $25$ m la troisième. Les distances parcourues augmentent : la variation n’est pas linéaire, l’objet accélère.