Première⏱ 50 minutes

Modéliser une variation quadratique — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice non autorisée.

Exercice 1 (6 points) — Automatismes

Réponds directement (1 point par question).

Résous $(x - 2)(x + 5) = 0$ .
Développe $(x - 3)(x + 3)$ .
Factorise $x^2 - 7x$ .
La parabole de $f(x) = -4x^2 + 1$ est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ?
Une parabole passe par $(1\,;\,0)$ et $(9\,;\,0)$ . Quel est son axe de symétrie ?
Calcule $f(-1)$ pour $f(x) = 2x^2 - 3x$ .

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$x = 2$ ou $x = -5$ .
$x^2 - 9$ .
$x(x - 7)$ .
Vers le bas ( $a = -4 < 0$ ).
$x = \dfrac{1 + 9}{2} = 5$ .
$f(-1) = 2 + 3 = 5$ .

Exercice 2 (8 points) — Étude d'une fonction

Soit $f(x) = 0{,}5(x - 2)(x - 6)$ .

Donne les racines de $f$ . (1 point)
Détermine l'axe de symétrie et les coordonnées du sommet. (2 points)
Dresse le tableau de variations de $f$ . (2 points)
Dresse le tableau de signes de $f(x)$ et résous $f(x) \leqslant 0$ . (2 points)
Montre que $f(x) = 0{,}5x^2 - 4x + 6$ . (1 point)

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Racines : $2$ et $6$ .
Axe : $x = \dfrac{2 + 6}{2} = 4$ . $f(4) = 0{,}5 \times 2 \times (-2) = -2$ : sommet $S(4\,;\,-2)$ .
$a = 0{,}5 > 0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,4]$ et croissante sur $[4\,;\,+\infty[$ , avec un minimum $-2$ en $x = 4$ .

$x$ $-\infty$ $4$ $+\infty$
$f$ ↘ $-2$ ↗
$f(x)$ est du signe de $a$ (positif) à l'extérieur des racines, négatif entre elles.

$x$ $-\infty$ $2$ $6$ $+\infty$
Signe de $f(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$

$f(x) \leqslant 0 \iff x \in [2\,;\,6]$ .
$0{,}5(x - 2)(x - 6) = 0{,}5(x^2 - 8x + 12) = 0{,}5x^2 - 4x + 6$ .

$x$	$-\infty$		$4$		$+\infty$
$f$		↘	$-2$	↗

$x$	$-\infty$		$2$		$6$		$+\infty$
Signe de $f(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Exercice 3 (6 points) — Tarif d'un concert

Une salle de concert vend $300$ places à $20$ €. Une étude montre que chaque baisse de $1$ € du prix attire $30$ spectateurs de plus. On note $x$ la baisse de prix en euros ( $0 \leqslant x \leqslant 20$ ).

Exprime le prix d'une place et le nombre de spectateurs en fonction de $x$ . (1 point)
Montre que la recette est $R(x) = (20 - x)(300 + 30x)$ , puis que $R(x) = -30(x - 20)(x + 10)$ . (2 points)
Détermine la baisse de prix qui rend la recette maximale, et cette recette maximale. (2 points)
Pourquoi une baisse du prix peut-elle augmenter la recette ? (1 point)

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Prix : $20 - x$ euros ; spectateurs : $300 + 30x$ .
Recette = prix × nombre de spectateurs : $R(x) = (20 - x)(300 + 30x)$ . Or $20 - x = -(x - 20)$ et $300 + 30x = 30(x + 10)$ , donc $R(x) = -30(x - 20)(x + 10)$ .
Racines $20$ et $-10$ , axe $x = \dfrac{20 + (-10)}{2} = 5$ ; $a = -30 < 0$ : maximum en $x = 5$ . $R(5) = 15 \times 450 = 6\,750$ €. Il faut baisser le prix de $5$ € (place à $15$ €).
La baisse du prix réduit la recette par place, mais attire beaucoup plus de spectateurs : tant que le gain de spectateurs compense la baisse, la recette augmente (ici jusqu'à $x = 5$ ).