Modéliser une variation quadratique

Ce que tu sais déjà. Tu connais la fonction carré et sa parabole, les tableaux de variations et les tableaux de signes d’un produit (Seconde — Fonctions de référence, Seconde — Variations et extremums, Seconde — Fonctions affines et tableaux de signes). Une variation quadratique permet de décrire un phénomène qui n’est pas toujours croissant ou toujours décroissant : une balle qui monte puis redescend, une recette qui passe par un maximum.

1. Fonctions polynômes de degré 2 et paraboles

Définition. Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = ax^2 + bx + c,$$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels avec $a \neq 0$. Sa courbe est une parabole.

Propriété (allure).

• Si $a > 0$, la parabole est « tournée vers le haut » : la fonction décroît puis croît et admet un minimum.
• Si $a < 0$, la parabole est « tournée vers le bas » : la fonction croît puis décroît et admet un maximum.
• Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est « resserrée ».

Cas particuliers à reconnaître.

• $f(x) = ax^2$ : sommet à l’origine $O$, axe de symétrie l’axe des ordonnées.
• $f(x) = ax^2 + c$ : même forme, décalée verticalement de $c$ ; sommet $(0\,;\,c)$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Axe de symétrie et sommet

Propriété. Toute parabole admet un axe de symétrie vertical, d’équation $x = \alpha$. Il passe par le sommet $S(\alpha\,;\,f(\alpha))$, qui correspond au minimum (si $a > 0$) ou au maximum (si $a < 0$).

Idée clé. Deux points de la parabole qui ont la même ordonnée sont symétriques par rapport à l’axe : si $f(x_1) = f(x_2)$ avec $x_1 \neq x_2$, alors $\alpha = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ (le milieu).

Avec la calculatrice ou un logiciel, on peut aussi lire le sommet sur la courbe ou dans un tableau de valeurs (il est au milieu de deux valeurs égales).

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Variations et extremum

Propriété. Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ de sommet $S(\alpha\,;\,\beta)$.

Exemple. Pour $f(x) = -2x^2 + 8x + 1$ (sommet $S(2\,;\,9)$, $a < 0$) : $f$ croît sur $]-\infty\,;\,2]$, décroît sur $[2\,;\,+\infty[$ ; son maximum est $9$, atteint en $x = 2$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Forme factorisée : racines et signe

Définition. Une racine de $f$ est un réel $x$ tel que $f(x) = 0$ : c’est l’abscisse d’un point où la parabole coupe l’axe des abscisses.

Propriété. Si $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ (forme factorisée), alors :

• les racines sont $x_1$ et $x_2$ (équation produit nul) ;
• l’axe de symétrie est $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ ;
• $f(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines.

Le calcul des racines à l’aide du discriminant ne figure pas à ce programme : on travaille avec des expressions déjà factorisées, ou que l’on factorise simplement (facteur commun, identité remarquable).

Exemple. $f(x) = 0{,}5(x + 1)(x - 5)$. Racines : $-1$ et $5$. Axe : $x = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2$ ; sommet : $f(2) = 0{,}5 \times 3 \times (-3) = -4{,}5$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$5$		$+\infty$
Signe de $f(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

5. Modéliser avec une parabole

Une fonction de degré 2 apparaît dès qu’une grandeur est le produit de deux facteurs qui varient en sens contraire, ou dans les mouvements sous l’effet de la pesanteur.

Exemple (chiffre d’affaires). Un producteur vend des paniers de légumes. À $x$ euros le panier, il en vend $200 - 10x$ par semaine (pour $0 \leqslant x \leqslant 20$). Sa recette est $R(x) = x(200 - 10x) = -10x(x - 20)$. Racines $0$ et $20$, axe $x = 10$ : la recette est maximale pour un prix de $10$ €, et vaut $R(10) = 1\,000$ €.

Exemple (trajectoire). Un ballon lancé suit la trajectoire $h(x) = -0{,}05x(x - 30)$, où $x$ est la distance horizontale et $h$ la hauteur (en mètres). Il retombe au sol à $30$ m ; il est au plus haut à $15$ m, à une hauteur $h(15) = -0{,}05 \times 15 \times (-15) = 11{,}25$ m.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

• $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) : parabole tournée vers le haut si $a > 0$ (minimum), vers le bas si $a < 0$ (maximum).
• L’axe de symétrie passe par le milieu de deux abscisses de même image ; le sommet est sur l’axe.
• Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : racines $x_1$, $x_2$ ; axe $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ ; signe de $a$ à l’extérieur des racines.
• Un produit de deux facteurs qui varient en sens contraire conduit souvent à une variation quadratique avec un optimum.