Première

Modéliser une variation linéaire — Exercices d'application

1. Reconnaître une variation linéaire

Exercice 1 — ⭐

Pour chaque tableau, dis si la variation est linéaire. Si oui, donne la variation absolue.

Étape	0	1	2	3	4
Tableau A	$20$	$17$	$14$	$11$	$8$
Tableau B	$5$	$10$	$20$	$40$	$80$
Tableau C	$1{,}2$	$1{,}5$	$1{,}8$	$2{,}1$	$2{,}4$

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A : différences $-3$ , $-3$ , $-3$ , $-3$ : linéaire, diminution de $3$ par étape.
B : différences $5$ , $10$ , $20$ , $40$ : pas linéaire (les valeurs doublent, c’est une variation exponentielle).
C : différences $0{,}3$ à chaque étape : linéaire, augmentation de $0{,}3$ par étape.

2. Suites arithmétiques

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Exercice 2 — ⭐

$(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $4$ . Calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , puis $u_{20}$ .
$(v_n)$ est arithmétique avec $v_0 = 100$ et $v_{n+1} = v_n - 2{,}5$ . Donne $v_n$ en fonction de $n$ et calcule $v_{12}$ .
$(w_n)$ est arithmétique avec $w_1 = 3$ et de raison $0{,}5$ . Calcule $w_{11}$ .

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$u_1 = 11$ , $u_2 = 15$ , $u_3 = 19$ ; $u_{20} = 7 + 20 \times 4 = 87$ .
Raison $-2{,}5$ : $v_n = 100 - 2{,}5n$ ; $v_{12} = 100 - 30 = 70$ .
$w_{11} = w_1 + 10 \times 0{,}5 = 3 + 5 = 8$ .

Exercice 3 — ⭐⭐

Une abonnée à une salle de sport paie $40$ € de frais d’inscription puis $25$ € par mois. On note $c_n$ la somme totale payée après $n$ mois ( $c_0 = 40$ ).

Justifie que $(c_n)$ est une suite arithmétique ; précise sa raison.
Exprime $c_n$ en fonction de $n$ .
Combien aura-t-elle payé au bout d’un an ?
Une autre formule sans inscription coûte $30$ € par mois. Au bout de combien de mois la première formule devient-elle la moins chère ?

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Chaque mois, on ajoute $25$ € : $c_{n+1} = c_n + 25$ . C’est une suite arithmétique de raison $25$ .
$c_n = 40 + 25n$ .
$c_{12} = 40 + 300 = 340$ €.
Autre formule : $d_n = 30n$ . On cherche $40 + 25n < 30n \iff 40 < 5n \iff n > 8$ . À partir de $9$ mois, la première formule est la moins chère (à $8$ mois, les deux coûtent $240$ €).

3. Sens de variation et représentation graphique

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Exercice 4 — ⭐⭐

Une suite arithmétique $(u_n)$ vérifie $u_0 = 9$ et $u_3 = 3$ .

Calcule sa raison. Quel est son sens de variation ?
Représente ses termes pour $n$ de $0$ à $6$ dans un repère.
Sur quelle droite ces points se trouvent-ils ?
À partir de quel rang les termes deviennent-ils négatifs ?

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$u_3 = u_0 + 3r$ , donc $3 = 9 + 3r$ et $r = -2$ . La raison est négative : la suite est décroissante.
Points $(0\,;\,9)$ , $(1\,;\,7)$ , $(2\,;\,5)$ , $(3\,;\,3)$ , $(4\,;\,1)$ , $(5\,;\,-1)$ , $(6\,;\,-3)$ .
Sur la droite $y = -2x + 9$ .
$9 - 2n < 0 \iff n > 4{,}5$ : à partir du rang $5$ .

4. Fonctions affines et taux d’accroissement

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Exercice 5 — ⭐⭐

Offre et demande. Pour un produit, la quantité demandée (en milliers d’unités) en fonction du prix $x$ (en euros) est modélisée par une fonction affine $D$ . On sait que $D(10) = 50$ et $D(20) = 30$ .

Calcule le taux d’accroissement de $D$ entre $10$ et $20$ et interprète-le.
Détermine l’expression de $D(x)$ .
Pour quel prix la demande est-elle nulle ?
L’offre est modélisée par $O(x) = 2x + 10$ . Pour quel prix l’offre égale-t-elle la demande ?

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$\dfrac{30 - 50}{20 - 10} = -2$ : chaque euro de plus fait baisser la demande de $2\,000$ unités.
$D(x) = -2x + p$ avec $50 = -20 + p$ , donc $p = 70$ : $D(x) = -2x + 70$ .
$-2x + 70 = 0 \iff x = 35$ € .
$2x + 10 = -2x + 70 \iff 4x = 60 \iff x = 15$ € (quantité : $40\,000$ unités).

5. Problèmes de seuil

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Exercice 6 — ⭐⭐

On reprend le motif d’allumettes du cours : il faut $a_n = 3n + 1$ allumettes pour une rangée de $n$ carrés.

Vérifie la formule pour $n = 1$ , $2$ et $3$ .
Combien faut-il d’allumettes pour $50$ carrés ?
Avec une boîte de $250$ allumettes, combien de carrés peut-on faire au maximum ?

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$a_1 = 4$ (un carré), $a_2 = 7$ , $a_3 = 10$ : chaque carré ajouté partage un côté avec le précédent, donc demande $3$ allumettes.
$a_{50} = 151$ .
$3n + 1 \leqslant 250 \iff n \leqslant 83$ : au maximum $83$ carrés ( $250$ allumettes exactement).

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Fonte d’un glacier. Un glacier mesurait $4{,}2$ km de long en 2000. On admet qu’il recule de $30$ m par an.

Exprime sa longueur $L_n$ (en mètres) $n$ années après 2000.
Quelle serait sa longueur en 2050 selon ce modèle ?
En quelle année sa longueur passerait-elle sous $2{,}5$ km ?
Des mesures récentes montrent que le recul s’accélère. Le modèle linéaire est-il alors optimiste ou pessimiste ?

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$L_n = 4\,200 - 30n$ .
$L_{50} = 4\,200 - 1\,500 = 2\,700$ m.
$4\,200 - 30n < 2\,500 \iff -30n < -1\,700 \iff n > \dfrac{1\,700}{30} \approx 56{,}7$ : pour $n = 57$ , soit en 2057.
Si le recul s’accélère, le glacier raccourcit plus vite que prévu : le modèle linéaire est optimiste.