Modéliser une variation linéaire

Ce que tu sais déjà. Tu connais les fonctions affines $x \mapsto mx + p$, leur représentation par une droite et le rôle du coefficient directeur (Seconde — Fonctions affines et tableaux de signes). Ici, on s’intéresse aux grandeurs qui augmentent (ou diminuent) de la même quantité à chaque étape.

1. Reconnaître une variation linéaire

Définition. Une grandeur qui évolue par étapes (chaque année, chaque mois, à chaque motif…) a une variation linéaire si elle augmente ou diminue toujours de la même quantité d’une étape à la suivante : la variation absolue est constante.

Exemples.

• Un livret rapporte chaque année $30$ € d’intérêts simples (toujours calculés sur la somme de départ) : le capital augmente de $30$ € par an.
• Un réservoir de $500$ L perd $12$ L par jour : il diminue de $12$ L par jour.
• Contre-exemple : une population qui augmente de $3\,\%$ par an n’a pas une variation linéaire (la quantité ajoutée grandit chaque année) ; ce sera le chapitre sur la variation exponentielle.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Suites arithmétiques

Définition. Une suite $(u_n)$ est une liste de nombres numérotés : $u_0$, $u_1$, $u_2$, … ; $u_n$ est le terme de rang $n$. Une suite est arithmétique s’il existe un réel $r$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$ : $$u_{n+1} = u_n + r.$$ On passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours $r$ : c’est le modèle d’une variation linéaire.

Propriété (terme de rang $n$). Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors pour tout entier $n$ : $$u_n = u_0 + n \times r.$$ Pourquoi ? Pour aller de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $n$ fois la raison $r$.

Exemple. Un capital de $1\,000$ € placé à intérêts simples rapporte $30$ € par an. On note $u_n$ le capital après $n$ années : $u_0 = 1\,000$ et $u_{n+1} = u_n + 30$. Donc $u_n = 1\,000 + 30n$ et, au bout de $10$ ans, $u_{10} = 1\,300$ €.

Remarque. Si la suite commence au rang $1$, on écrit $u_n = u_1 + (n - 1) \times r$.

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Sens de variation et représentation graphique

Propriété. Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

• Si $r > 0$, la suite est croissante ;
• si $r < 0$, elle est décroissante ;
• si $r = 0$, elle est constante.

Représentation graphique. On place les points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$. Pour une suite arithmétique, ces points sont alignés : ils sont sur la droite d’équation $y = rx + u_0$. On ne relie pas les points (la suite n’est définie que pour des entiers).

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Fonctions affines et taux d’accroissement

Quand la grandeur varie en continu (le temps n’est plus compté par étapes), on utilise une fonction affine $f(x) = mx + p$ : sa représentation est une droite.

Propriété. Pour une fonction affine, le taux d’accroissement entre deux valeurs $x_1 \neq x_2$ est constant et égal au coefficient directeur : $$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = m.$$ Quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $m$ (ou diminue si $m < 0$) ; $p = f(0)$ est la valeur initiale.

Lien avec les suites. Une suite arithmétique $u_n = u_0 + nr$ est la « version par étapes » de la fonction affine $f(x) = rx + u_0$ : $u_n = f(n)$. La raison $r$ joue le rôle du coefficient directeur.

Exemple. Un modèle simplifié estime que le niveau moyen de la mer s’élève de $3{,}5$ mm par an à partir d’une valeur de référence $0$ en 2000 : $h(t) = 3{,}5t$, où $t$ est le nombre d’années depuis 2000. Taux d’accroissement : $3{,}5$ mm par an. En 2030 : $h(30) = 105$ mm.

Déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs. Si $f(x_1) = y_1$ et $f(x_2) = y_2$ : $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, puis $p = y_1 - mx_1$.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Problèmes de seuil

Problème de seuil. Chercher à partir de quand une grandeur dépasse (ou passe sous) une valeur donnée.

Exemple. Le réservoir de $500$ L perd $12$ L par jour : $u_n = 500 - 12n$. Quand contiendra-t-il moins de $100$ L ? $500 - 12n < 100 \iff -12n < -400 \iff n > \dfrac{400}{12} \approx 33{,}3$ (on divise par $-12$ : le sens change). C’est à partir du 34ᵉ jour.

Au tableur ou à la calculatrice, on peut aussi afficher les termes successifs et repérer le premier qui franchit le seuil.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

• Variation linéaire = variation absolue constante.
• Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ ; $u_n = u_0 + nr$ ; croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$.
• Ses points $(n\,;\,u_n)$ sont alignés sur la droite $y = rx + u_0$.
• Fonction affine $f(x) = mx + p$ : taux d’accroissement constant égal à $m$.
• Seuil : résoudre $u_0 + nr > S$, attention au sens quand on divise par un négatif, conclure par un entier.