Première⏱ 50 minutes

Modéliser une variation linéaire — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice non autorisée.

Exercice 1 (6 points) — Automatismes

Réponds directement (1 point par question).

$(u_n)$ est arithmétique, $u_0 = 5$ , raison $3$ . Calcule $u_4$ .
$u_{n+1} = u_n - 7$ : quelle est la raison ? La suite est-elle croissante ?
Quel est le coefficient directeur de la droite passant par $(0\,;\,2)$ et $(4\,;\,10)$ ?
Résous $3x - 5 > 10$ .
Les valeurs $12$ , $15$ , $19$ , $24$ traduisent-elles une variation linéaire ?
Calcule $f(-2)$ pour $f(x) = -3x + 1$ .

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$u_4 = 5 + 4 \times 3 = 17$ .
Raison $-7$ ; la suite est décroissante.
$\dfrac{10 - 2}{4 - 0} = 2$ .
$3x > 15 \iff x > 5$ .
Non : les différences $3$ , $4$ , $5$ ne sont pas constantes.
$f(-2) = 6 + 1 = 7$ .

Exercice 2 (7 points) — Covoiturage

Une plateforme de covoiturage comptait $2\,000$ inscrits dans une ville au 1ᵉʳ janvier 2025. Chaque mois, $150$ nouvelles personnes s'inscrivent et personne ne se désinscrit. On note $u_n$ le nombre d'inscrits $n$ mois après le 1ᵉʳ janvier 2025.

Donne $u_0$ , $u_1$ et $u_2$ . (1 point)
Justifie que $(u_n)$ est arithmétique ; donne sa raison et son sens de variation. (2 points)
Exprime $u_n$ en fonction de $n$ et calcule $u_{12}$ . (2 points)
À partir de combien de mois la plateforme aura-t-elle plus de $5\,000$ inscrits ? (2 points)

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$u_0 = 2\,000$ , $u_1 = 2\,150$ , $u_2 = 2\,300$ .
Chaque mois, on ajoute $150$ inscrits : $u_{n+1} = u_n + 150$ . La suite est arithmétique de raison $150 > 0$ , donc croissante.
$u_n = 2\,000 + 150n$ ; $u_{12} = 2\,000 + 1\,800 = 3\,800$ .
$2\,000 + 150n > 5\,000 \iff 150n > 3\,000 \iff n > 20$ . Pour $n = 20$ , on a exactement $5\,000$ inscrits ; il y en a plus de $5\,000$ à partir de $n = 21$ , soit au bout de $21$ mois.

Exercice 3 (7 points) — Température et altitude

En montagne, par temps sec, la température diminue d'environ $1$ °C quand on monte de $100$ m. Au pied d'une montagne, à $500$ m d'altitude, il fait $20$ °C. On note $T(x)$ la température (en °C) à l'altitude $x$ (en m).

Justifie que $T$ est une fonction affine de coefficient directeur $-0{,}01$ . (2 points)
Montre que $T(x) = -0{,}01x + 25$ . (2 points)
Quelle température fait-il au sommet, à $2\,300$ m ? (1 point)
À partir de quelle altitude la température devient-elle négative ? (2 points)

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Quand l'altitude augmente de $100$ m, la température baisse de $1$ °C : la variation est proportionnelle à la variation d'altitude, avec un taux constant $\dfrac{-1}{100} = -0{,}01$ °C par mètre. $T$ est donc affine de coefficient directeur $-0{,}01$ .
$T(x) = -0{,}01x + p$ et $T(500) = 20$ : $-5 + p = 20$ , donc $p = 25$ . D'où $T(x) = -0{,}01x + 25$ .
$T(2\,300) = -23 + 25 = 2$ °C.
$-0{,}01x + 25 < 0 \iff -0{,}01x < -25 \iff x > 2\,500$ (on divise par $-0{,}01 < 0$ : le sens change). Au-dessus de $2\,500$ m d'altitude.