Première

Modéliser une variation exponentielle — Exercices d'application

1. Variation relative constante

Exercice 1 — ⭐

Pour chaque tableau, dis si la variation est linéaire, exponentielle ou ni l’un ni l’autre.

Étape	0	1	2	3
A	$64$	$48$	$36$	$27$
B	$10$	$13$	$16$	$19$
C	$5$	$10$	$20$	$35$

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A : quotients $\dfrac{48}{64} = \dfrac{36}{48} = \dfrac{27}{36} = 0{,}75$ : exponentielle (baisse de $25\,\%$ par étape).
B : différences constantes ( $+3$ ) : linéaire.
C : différences $5$ , $10$ , $15$ (non constantes) ; quotients $2$ , $2$ , $1{,}75$ (non constants) : ni l’un ni l’autre.

2. Suites géométriques

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Exercice 2 — ⭐

$(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $2$ . Calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_{10}$ .
$(v_n)$ est géométrique avec $v_0 = 800$ et $v_{n+1} = 0{,}5v_n$ . Exprime $v_n$ en fonction de $n$ et calcule $v_4$ .
Donne le sens de variation de chacune des deux suites.

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$u_1 = 6$ , $u_2 = 12$ , $u_3 = 24$ ; $u_{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1\,024 = 3\,072$ .
$v_n = 800 \times 0{,}5^n$ ; $v_4 = 800 \times 0{,}0625 = 50$ .
$(u_n)$ : $q = 2 > 1$ , croissante. $(v_n)$ : $q = 0{,}5 \in \,]0\,;\,1[$ , décroissante.

Exercice 3 — ⭐⭐

Une ville comptait $40\,000$ habitants en 2020. Sa population augmente de $2\,\%$ par an. On note $p_n$ la population $n$ années après 2020.

Justifie que $(p_n)$ est géométrique ; donne sa raison.
Exprime $p_n$ en fonction de $n$ .
À la calculatrice, estime la population en 2030 (arrondie à l’unité).

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Chaque année, la population est multipliée par $1{,}02$ : $p_{n+1} = 1{,}02\,p_n$ . Suite géométrique de raison $1{,}02$ .
$p_n = 40\,000 \times 1{,}02^n$ .
$p_{10} = 40\,000 \times 1{,}02^{10} \approx 48\,760$ habitants.

3. Linéaire contre exponentiel

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Exercice 4 — ⭐⭐

On propose à Léa deux contrats d’argent de poche sur un an :

contrat A : $20$ € la première semaine, puis $2$ € de plus chaque semaine ;
contrat B : $1$ € la première semaine, puis le double de la semaine précédente, mais seulement pendant $10$ semaines.

Exprime le montant $a_n$ reçu la semaine $n$ (pour $n \geqslant 1$ ) dans chaque contrat.
Quelle somme reçoit-elle la 10ᵉ semaine avec chacun ?
À partir de quelle semaine le contrat B verse-t-il plus que le contrat A ?

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A : arithmétique, $a_n = 20 + 2(n - 1)$ . B : géométrique, $b_n = 1 \times 2^{n-1}$ .
$a_{10} = 38$ € ; $b_{10} = 2^9 = 512$ €.
$b_5 = 16 < a_5 = 28$ ; $b_6 = 32 > a_6 = 30$ : à partir de la 6ᵉ semaine.

4. Fonctions exponentielles de base a

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Exercice 5 — ⭐⭐

Calcule sans calculatrice : $9^{0{,}5}$ ; $27^{1/3}$ ; $16^{1/4}$ ; $4^{1{,}5}$ .
Simplifie : $3^{0{,}4} \times 3^{0{,}6}$ ; $\left(5^{0{,}5}\right)^4$ .
Une culture de bactéries double toutes les heures ; à $t = 0$ il y en a $1\,000$ . Explique pourquoi, au bout de $30$ minutes, il y en a $1\,000 \times 2^{0{,}5} \approx 1\,414$ , et non $1\,500$ .

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$3$ ; $3$ ; $2$ ; $4^{1{,}5} = 4 \times 4^{0{,}5} = 4 \times 2 = 8$ .
$3^{0{,}4 + 0{,}6} = 3^1 = 3$ ; $5^{0{,}5 \times 4} = 5^2 = 25$ .
Le nombre au bout de $t$ heures est $1\,000 \times 2^t$ ; pour $t = 0{,}5$ : $1\,000 \times \sqrt2 \approx 1\,414$ . Le coefficient par demi-heure $c$ vérifie $c \times c = 2$ , donc $c = \sqrt2 \approx 1{,}414$ : la croissance n’est pas linéaire au cours de l’heure, on ne coupe pas « la moitié de l’augmentation ».

5. Taux d’évolution moyen

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Exercice 6 — ⭐⭐

Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmenté de $44\,\%$ en deux ans. Quel est le taux annuel moyen ?
Les émissions d’un pays ont baissé de $36\,\%$ en deux ans. Quel est le taux annuel moyen de baisse ?
Un prix a été multiplié par $1{,}5$ en $5$ ans. À la calculatrice, donne le taux annuel moyen, arrondi à $0{,}1\,\%$ .

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$\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$ : taux moyen $20\,\%$ par an.
Coefficient global $0{,}64$ ; $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ : baisse moyenne de $20\,\%$ par an.
$1{,}5^{1/5} \approx 1{,}0845$ : environ $8{,}4\,\%$ par an.

6. Seuils, doublement et demi-vie

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Exercice 7 — ⭐⭐

La concentration d’un médicament dans le sang est de $80$ mg/L juste après l’injection et diminue de $20\,\%$ par heure.

Exprime la concentration $c_n$ au bout de $n$ heures.
Complète le tableau (valeurs arrondies au dixième) et détermine au bout de combien d’heures la concentration passe sous $30$ mg/L.

$n$	0	1	2	3	4	5
$c_n$	$80$

On admet que la demi-vie est d’environ $3$ h. Explique pourquoi.

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$c_n = 80 \times 0{,}8^n$ .
$64$ ; $51{,}2$ ; $41$ (exactement $40{,}96$ ) ; $32{,}8$ ; $26{,}2$ . La concentration passe sous $30$ mg/L au bout de $5$ heures.
$0{,}8^3 = 0{,}512 \approx 0{,}5$ : en $3$ heures, la concentration est à peu près divisée par $2$ .

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

Épidémie et datation.

Au début d’une épidémie, le nombre de cas double tous les $3$ jours. On compte $100$ cas le 1ᵉʳ mars. Estime le nombre de cas le 31 mars, en utilisant $2^{10} \approx 1\,000$ .
Un morceau de bois contient $12{,}5\,\%$ du carbone 14 initial. Estime son âge (demi-vie : $5\,730$ ans).
Pourquoi, dans la réalité, une épidémie ne suit-elle pas ce modèle indéfiniment ?

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$30$ jours, soit $10$ doublements : $100 \times 2^{10} \approx 100\,000$ cas.
$12{,}5\,\% = \dfrac18 = \left(\dfrac12\right)^3$ : trois demi-vies, environ $17\,190$ ans.
Le nombre de personnes pouvant être contaminées diminue (immunité, mesures de protection, population finie) : la croissance ralentit et le modèle exponentiel cesse d’être valable.