Aller au contenu principal
Première⏱ 50 minutes

Modéliser une variation exponentielle — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice non autorisée.

Exercice 1 (6 points) — Automatismes

Réponds directement (1 point par question).

  1. (un)(u_n) est géométrique, u0=5u_0 = 5, q=3q = 3. Calcule u3u_3.
  2. Quel est le coefficient multiplicateur d'une baisse de 15 %15\,\% ?
  3. Une suite géométrique a pour raison 0,90{,}9. Est-elle croissante ou décroissante ?
  4. Calcule 250,525^{0{,}5}.
  5. Une grandeur augmente de 69 %69\,\% en deux ans (1,69=1,321{,}69 = 1{,}3^2). Quel est le taux annuel moyen ?
  6. Simplifie 20,3×20,72^{0{,}3} \times 2^{0{,}7}.
Voir le corrigé
  1. u3=5×33=135u_3 = 5 \times 3^3 = 135.
  2. 0,850{,}85.
  3. Décroissante (0<0,9<10 < 0{,}9 < 1).
  4. 25=5\sqrt{25} = 5.
  5. 1,69=1,3\sqrt{1{,}69} = 1{,}3 : 30 %30\,\% par an.
  6. 20,3+0,7=21=22^{0{,}3 + 0{,}7} = 2^1 = 2.

Exercice 2 (7 points) — Placement

Sacha place 2 0002\,000 € au 1ᵉʳ janvier 2026 sur un compte à intérêts composés au taux annuel de 5 %5\,\%. On note unu_n le capital au bout de nn années.

  1. Calcule u1u_1 et u2u_2. (1 point)
  2. Justifie que (un)(u_n) est géométrique et exprime unu_n en fonction de nn. (2 points)
  3. On donne 1,0514≈1,981{,}05^{14} \approx 1{,}98 et 1,0515≈2,081{,}05^{15} \approx 2{,}08. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ? (2 points)
  4. Avec un placement à intérêts simples de 5 %5\,\% (soit 100100 € par an), au bout de combien d'années le capital aurait-il doublé ? Compare. (2 points)
Voir le corrigé
  1. u1=2 000×1,05=2 100u_1 = 2\,000 \times 1{,}05 = 2\,100 ; u2=2 100×1,05=2 205u_2 = 2\,100 \times 1{,}05 = 2\,205.
  2. Chaque année, le capital est multiplié par 1,051{,}05 : un+1=1,05 unu_{n+1} = 1{,}05\,u_n. Suite géométrique de raison 1,051{,}05 et un=2 000×1,05nu_n = 2\,000 \times 1{,}05^n.
  3. Le capital double quand 1,05n⩾21{,}05^n \geqslant 2. Avec 1,0514≈1,98<21{,}05^{14} \approx 1{,}98 < 2 et 1,0515≈2,08>21{,}05^{15} \approx 2{,}08 > 2 : il faut 15 ans.
  4. À intérêts simples, il faut gagner 2 0002\,000 € à raison de 100100 € par an : 2020 ans. Les intérêts composés font doubler le capital 55 ans plus tôt, car les intérêts rapportent eux-mêmes des intérêts.

Exercice 3 (7 points) — Isotope radioactif

L'iode 131, utilisé en médecine, a une demi-vie de 88 jours. Un patient reçoit une dose de 400400 MBq (mégabecquerels).

  1. Quelle est l'activité au bout de 88 jours ? de 1616 jours ? de 2424 jours ? (2 points)
  2. Au bout de combien de jours l'activité devient-elle inférieure à 3030 MBq ? Justifie (on raisonnera par demi-vies). (2 points)
  3. On admet que l'activité au bout de tt jours est A(t)=400×0,5t/8A(t) = 400 \times 0{,}5^{t/8}. Vérifie que A(8)=200A(8) = 200, puis exprime A(4)A(4) à l'aide d'une racine carrée. (2 points)
  4. Le coefficient multiplicateur par jour est 0,51/80{,}5^{1/8}. Explique pourquoi il vaut environ 0,9170{,}917 sachant que 0,9178≈0,500{,}917^8 \approx 0{,}50, et traduis-le en taux d'évolution journalier. (1 point)
Voir le corrigé
  1. 88 jours : 200200 MBq ; 1616 jours : 100100 MBq ; 2424 jours : 5050 MBq.
  2. 3232 jours : 2525 MBq <30< 30 ; à 2424 jours, 50>3050 > 30. L'activité est décroissante : elle passe sous 3030 MBq entre 2424 et 3232 jours (au plus tard au bout de 3232 jours).
  3. A(8)=400×0,51=200A(8) = 400 \times 0{,}5^1 = 200. A(4)=400×0,51/2=400×0,5=4002=2002≈283A(4) = 400 \times 0{,}5^{1/2} = 400 \times \sqrt{0{,}5} = \dfrac{400}{\sqrt2} = 200\sqrt2 \approx 283 MBq.
  4. Le coefficient journalier cc vérifie c8=0,5c^8 = 0{,}5 (huit jours = une demi-vie) ; comme 0,9178≈0,500{,}917^8 \approx 0{,}50, c≈0,917c \approx 0{,}917. Taux journalier : 0,917−1=−0,0830{,}917 - 1 = -0{,}083, soit une baisse d'environ 8,3 %8{,}3\,\% par jour.