Modéliser une variation exponentielle

Ce que tu sais déjà. Tu sais appliquer un taux d’évolution avec un coefficient multiplicateur et enchaîner des évolutions (Pourcentages et évolutions), et tu connais le modèle linéaire (Modéliser une variation linéaire). Quand une grandeur augmente du même pourcentage à chaque étape, la variation n’est plus linéaire : elle est exponentielle.

1. Variation relative constante

Définition. Une grandeur qui évolue par étapes a une variation exponentielle si son taux d’évolution est le même d’une étape à la suivante : on passe d’une valeur à la suivante en multipliant toujours par le même nombre.

Exemples.

• Un capital placé à $3\,\%$ par an à intérêts composés (les intérêts s’ajoutent au capital et rapportent à leur tour) est multiplié par $1{,}03$ chaque année.
• Un médicament est éliminé par l’organisme à raison de $20\,\%$ de la quantité présente par heure : la quantité est multipliée par $0{,}8$ toutes les heures.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Suites géométriques

Définition. Une suite $(u_n)$ de termes strictement positifs est géométrique s’il existe un réel $q > 0$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$ : $$u_{n+1} = q \times u_n.$$ Si le taux d’évolution constant est $t$, la raison est le coefficient multiplicateur $q = 1 + t$.

Propriété (terme de rang $n$). Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, alors pour tout entier $n$ : $$u_n = u_0 \times q^n.$$ Pourquoi ? Pour aller de $u_0$ à $u_n$, on multiplie $n$ fois par $q$.

Exemple. $1\,000$ € placés à $3\,\%$ par an : $u_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$. Au bout de $10$ ans, $u_{10} = 1\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 1\,343{,}92$ € (contre $1\,300$ € à intérêts simples).

Propriété (sens de variation), pour $u_0 > 0$ :

• si $q > 1$, la suite est croissante ;
• si $0 < q < 1$, la suite est décroissante ;
• si $q = 1$, elle est constante.

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Linéaire contre exponentiel

Les points $(n\,;\,u_n)$ d’une suite géométrique ne sont pas alignés : quand $q > 1$, ils s’éloignent de plus en plus vite. À long terme, une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire, même si elle part de plus bas.

Exemple (modèle de Malthus). À la fin du XVIIIᵉ siècle, Malthus affirmait que la population croît de façon exponentielle alors que les ressources croissent de façon linéaire, et en concluait à une pénurie inévitable. Les mathématiques du modèle sont justes ; ce sont ses hypothèses (natalité constante, progrès agricoles lents) que l’histoire a démenties.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Fonctions exponentielles de base a

Pour un taux d’évolution annuel, on voudrait parler de la valeur au bout de $2{,}5$ ans ou de $6$ mois : on prolonge la suite $n \mapsto a^n$ à tous les réels $x \geqslant 0$.

Définition. Pour $a > 0$, la fonction exponentielle de base $a$ est la fonction $x \mapsto a^x$ ; pour les entiers, elle coïncide avec les puissances connues. On la calcule à la calculatrice (touche ^).

Propriétés (admises). Pour $a > 0$ et $x$, $y$ positifs : $$a^{x + y} = a^x \times a^y, \qquad (a^x)^y = a^{xy}, \qquad a^0 = 1.$$

Cas de l’exposant $\dfrac1n$. $\left(a^{1/n}\right)^n = a^1 = a$ : $a^{1/n}$ est le nombre positif dont la puissance $n$-ième vaut $a$ (sa racine $n$-ième). En particulier $a^{1/2} = \sqrt a$.

Exemples. $4^{0{,}5} = \sqrt 4 = 2$ ; $8^{1/3} = 2$ car $2^3 = 8$ ; $2^{3{,}5} = 2^3 \times 2^{0{,}5} = 8\sqrt2 \approx 11{,}3$.

Variations. Si $a > 1$, $x \mapsto a^x$ est croissante ; si $0 < a < 1$, elle est décroissante ; toutes les courbes passent par le point $(0\,;\,1)$.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Taux d’évolution moyen

Définition. Si une grandeur subit $n$ évolutions successives de coefficient global $C$, le taux d’évolution moyen $t_M$ est le taux constant qui, appliqué $n$ fois, donne le même résultat : $$(1 + t_M)^n = C, \qquad\text{donc}\qquad t_M = C^{1/n} - 1.$$

Exemple. Le prix d’un logement a augmenté de $21\,\%$ en deux ans. Coefficient global $C = 1{,}21$ ; $1 + t_M = 1{,}21^{1/2} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$. Le taux annuel moyen est $10\,\%$ (et non $10{,}5\,\%$ !).

Attention. Le taux moyen n’est pas la moyenne des taux : $+50\,\%$ puis $-50\,\%$ donnent un coefficient global $0{,}75$, donc un taux moyen $\sqrt{0{,}75} - 1 \approx -13{,}4\,\%$ par étape, et pas $0\,\%$.

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Seuils, doublement et demi-vie

Problème de seuil. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_0 q^n$ dépasse (ou passe sous) une valeur. À ce niveau, on procède par essais : calculatrice, tableur (on recopie la formule vers le bas) ou lecture graphique.

Exemple. Un capital de $1\,000$ € à $5\,\%$ par an dépasse-t-il $1\,500$ € au bout de $8$ ans ? $1{,}05^8 \approx 1{,}477$ (non) ; $1{,}05^9 \approx 1{,}551$ (oui). Il faut 9 ans.

Temps de doublement, demi-vie.

• Le temps de doublement d’une grandeur en croissance exponentielle est la durée au bout de laquelle elle double ; il est toujours le même, quel que soit le point de départ.
• La demi-vie d’une grandeur en décroissance exponentielle est la durée au bout de laquelle elle est divisée par $2$. Pour le carbone 14, elle vaut environ $5\,730$ ans : c’est le principe de la datation au carbone 14.

Exemple. Un os contient $25\,\%$ du carbone 14 qu’il avait à la mort de l’animal. $25\,\% = \dfrac12 \times \dfrac12$ : deux demi-vies se sont écoulées, soit environ $2 \times 5\,730 = 11\,460$ ans.

Ordres de grandeur. Une grandeur qui double $10$ fois est multipliée par $2^{10} = 1\,024 \approx 1\,000$ ; $20$ fois, par environ un million. C’est pourquoi une épidémie dont le nombre de cas double chaque semaine devient massive en quelques mois.

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8

À retenir.

• Variation exponentielle = taux d’évolution (variation relative) constant : on multiplie toujours par $q = 1 + t$.
• Suite géométrique : $u_{n+1} = qu_n$, $u_n = u_0 q^n$ ; croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$.
• $x \mapsto a^x$ : $a^{x+y} = a^x a^y$, $(a^x)^y = a^{xy}$, $a^{1/n}$ = racine $n$-ième ; croissante si $a > 1$.
• Taux moyen sur $n$ étapes : $t_M = C^{1/n} - 1$.
• Seuils par essais ; temps de doublement et demi-vie constants ; $2^{10} \approx 10^3$.