Première

Phénomènes aléatoires : probabilités conditionnelles et indépendance — Exercices d'application

1. Fréquences marginales et conditionnelles

Exercice 1 — ⭐

Dans un lycée de $800$ élèves, $480$ ont un smartphone de marque A. Parmi eux, $120$ dorment moins de $7$ heures par nuit. Parmi les élèves qui n’ont pas de smartphone de marque A, $80$ dorment moins de $7$ heures.

Dresse le tableau croisé (marque A / autre ; moins de 7 h / 7 h ou plus).
Calcule la fréquence marginale des élèves qui dorment moins de $7$ heures.
Calcule la fréquence de ceux qui dorment moins de $7$ heures parmi les élèves ayant un smartphone de marque A, puis parmi les autres. Que constates-tu ?

Voir le corrigé

Moins de 7 h 7 h ou plus Total
Marque A $120$ $360$ $480$
Autre $80$ $240$ $320$
Total $200$ $600$ $800$
$\dfrac{200}{800} = 25\,\%$ .
Parmi la marque A : $\dfrac{120}{480} = 25\,\%$ ; parmi les autres : $\dfrac{80}{320} = 25\,\%$ . Les deux fréquences sont égales : la marque du smartphone n’a aucun lien avec le temps de sommeil dans ce lycée.

	Moins de 7 h	7 h ou plus	Total
Marque A	$120$	$360$	$480$
Autre	$80$	$240$	$320$
Total	$200$	$600$	$800$

2. Probabilité conditionnelle

↩ Revoir le cours

Exercice 2 — ⭐⭐

On choisit au hasard une personne parmi les $10\,000$ du tableau du cours (test de dépistage). Calcule, en expliquant à quoi chaque nombre correspond :

$P(\overline{M})$ et $P(\overline{M} \cap T)$ ;
$P_{\overline{M}}(\overline{T})$ (appelée spécificité du test) ;
$P_{\overline{T}}(\overline{M})$ : la probabilité d’être sain quand le test est négatif. Est-ce rassurant ?

Voir le corrigé

$P(\overline{M}) = \dfrac{9\,800}{10\,000} = 0{,}98$ (être sain) ; $P(\overline{M} \cap T) = \dfrac{980}{10\,000} = 0{,}098$ (être sain et testé positif : faux positif).
$P_{\overline{M}}(\overline{T}) = \dfrac{8\,820}{9\,800} = 0{,}9$ : le test est négatif chez $90\,\%$ des personnes saines.
$P_{\overline{T}}(\overline{M}) = \dfrac{8\,820}{8\,830} \approx 0{,}9989$ . Oui : un test négatif exclut presque sûrement la maladie.

3. Arbres pondérés

↩ Revoir le cours

Exercice 3 — ⭐⭐

Dans une région, $30\,\%$ des jours sont pluvieux. Un jour de pluie, la probabilité qu’un bus soit en retard est $0{,}4$ ; un jour sans pluie, elle est $0{,}1$ . On note $P$ : « il pleut » et $R$ : « le bus est en retard ».

Construis l’arbre pondéré.
Calcule $P(P \cap R)$ , puis $P(R)$ .
Le bus est en retard. Quelle est la probabilité qu’il pleuve ?

Voir le corrigé

Premier niveau : $P$ ( $0{,}3$ ), $\overline{P}$ ( $0{,}7$ ). Après $P$ : $R$ ( $0{,}4$ ), $\overline{R}$ ( $0{,}6$ ). Après $\overline{P}$ : $R$ ( $0{,}1$ ), $\overline{R}$ ( $0{,}9$ ).
$P(P \cap R) = 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12$ ; $P(R) = 0{,}12 + 0{,}7 \times 0{,}1 = 0{,}12 + 0{,}07 = 0{,}19$ .
$P_R(P) = \dfrac{0{,}12}{0{,}19} = \dfrac{12}{19} \approx 0{,}63$ .

Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Un test de grossesse vendu en pharmacie est positif chez $99\,\%$ des femmes enceintes et négatif chez $98\,\%$ des femmes non enceintes. On l’utilise dans un groupe où $5\,\%$ des femmes sont enceintes. On choisit une femme au hasard ; $E$ : « elle est enceinte », $T$ : « le test est positif ».

Construis l’arbre pondéré.
Calcule $P(T)$ .
Calcule $P_T(E)$ et interprète.
Même question si le test est utilisé dans un groupe où $50\,\%$ des femmes sont enceintes. Commente.

Voir le corrigé

$E$ ( $0{,}05$ ) puis $T$ ( $0{,}99$ ), $\overline{T}$ ( $0{,}01$ ) ; $\overline{E}$ ( $0{,}95$ ) puis $T$ ( $0{,}02$ ), $\overline{T}$ ( $0{,}98$ ).
$P(T) = 0{,}05 \times 0{,}99 + 0{,}95 \times 0{,}02 = 0{,}0495 + 0{,}019 = 0{,}0685$ .
$P_T(E) = \dfrac{0{,}0495}{0{,}0685} = \dfrac{495}{685} = \dfrac{99}{137} \approx 0{,}72$ : un test positif correspond à une grossesse dans environ $72\,\%$ des cas seulement.
$P(T) = 0{,}5 \times 0{,}99 + 0{,}5 \times 0{,}02 = 0{,}505$ et $P_T(E) = \dfrac{0{,}495}{0{,}505} = \dfrac{99}{101} \approx 0{,}98$ . Le même test est bien plus fiable quand la situation testée est fréquente dans le groupe : la proportion initiale compte autant que la qualité du test.

4. Indépendance de deux événements

↩ Revoir le cours

Exercice 5 — ⭐⭐

On tire une carte dans un jeu de $32$ cartes. $A$ : « la carte est un cœur », $B$ : « la carte est un roi ». Calcule $P(A)$ , $P(B)$ , $P(A \cap B)$ . Les événements sont-ils indépendants ?
Reprends l’exercice 1 : les événements « avoir un smartphone de marque A » et « dormir moins de 7 h » sont-ils indépendants pour un élève choisi au hasard ?
Dans l’exercice 3, $P$ et $R$ sont-ils indépendants ?

Voir le corrigé

$P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac14$ , $P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac18$ , $P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}$ (le roi de cœur). Or $\dfrac14 \times \dfrac18 = \dfrac{1}{32}$ : oui, indépendants.
$P(\text{A} \cap \text{moins de 7 h}) = \dfrac{120}{800} = 0{,}15$ et $\dfrac{480}{800} \times \dfrac{200}{800} = 0{,}6 \times 0{,}25 = 0{,}15$ : oui.
$P_P(R) = 0{,}4$ mais $P(R) = 0{,}19$ : non, la pluie augmente le risque de retard.

5. Répéter des épreuves de Bernoulli

↩ Revoir le cours

Exercice 6 — ⭐⭐

Un couple a deux enfants. On admet que chaque enfant est une fille avec la probabilité $0{,}5$ , indépendamment.

Construis l’arbre.
Calcule la probabilité d’avoir deux filles, puis exactement une fille, puis au moins un garçon.

Voir le corrigé

Deux niveaux, chaque nœud donnant $F$ ( $0{,}5$ ) et $G$ ( $0{,}5$ ) : $4$ chemins $FF$ , $FG$ , $GF$ , $GG$ .
$P(FF) = 0{,}25$ ; exactement une fille : $FG$ ou $GF$ , $0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5$ ; au moins un garçon : $1 - P(FF) = 0{,}75$ .

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Génétique. Chez un couple de porteurs sains d’une maladie génétique récessive, chaque enfant a une probabilité $\dfrac14$ d’être atteint, indépendamment des autres enfants. Le couple a $4$ enfants.

Quelle est la probabilité qu’aucun enfant ne soit atteint ? (on donne $\left(\dfrac34\right)^4 = \dfrac{81}{256}$ )
En déduire la probabilité qu’au moins un enfant soit atteint.
Quelle est la probabilité que le premier enfant seulement soit atteint ?
Quelle est la probabilité qu’exactement un enfant soit atteint ?

Voir le corrigé

$\left(\dfrac34\right)^4 = \dfrac{81}{256} \approx 0{,}316$ .
$1 - \dfrac{81}{256} = \dfrac{175}{256} \approx 0{,}684$ .
Chemin $A\overline{A}\,\overline{A}\,\overline{A}$ : $\dfrac14 \times \left(\dfrac34\right)^3 = \dfrac14 \times \dfrac{27}{64} = \dfrac{27}{256} \approx 0{,}105$ .
L’enfant atteint peut être le 1er, le 2e, le 3e ou le 4e : $4$ chemins de même probabilité, $4 \times \dfrac{27}{256} = \dfrac{108}{256} = \dfrac{27}{64} \approx 0{,}42$ .