Phénomènes aléatoires : probabilités conditionnelles et indépendance

Ce que tu sais déjà. En Seconde, tu as calculé des probabilités sur un ensemble fini et découvert les probabilités conditionnelles (Seconde — Probabilités, Seconde — Probabilités conditionnelles). Ce chapitre les reprend pas à pas pour interpréter des situations scientifiques : dépistage d’une maladie, génétique, jeux de hasard.

1. Fréquences marginales et conditionnelles

Définitions. Dans un tableau croisé d’effectifs portant sur un effectif total $N$ :

• la fréquence marginale d’une modalité est son total divisé par $N$ ;
• la fréquence conditionnelle de $B$ parmi $A$ est l’effectif de « $A$ et $B$ » divisé par l’effectif de $A$ : on se restreint à la ligne (ou à la colonne) de $A$.

Exemple. Une maladie touche $2\,\%$ d’une population. Un test la détecte chez $95\,\%$ des malades et se trompe (résultat positif) chez $10\,\%$ des personnes saines. Sur $10\,000$ personnes :

	Test positif	Test négatif	Total
Malade	$190$	$10$	$200$
Sain	$980$	$8\,820$	$9\,800$
Total	$1\,170$	$8\,830$	$10\,000$

• Fréquence marginale des tests positifs : $\dfrac{1\,170}{10\,000} = 11{,}7\,\%$.
• Fréquence des positifs parmi les malades : $\dfrac{190}{200} = 95\,\%$.
• Fréquence des malades parmi les positifs : $\dfrac{190}{1\,170} \approx 16\,\%$.

Les deux dernières fréquences sont très différentes : c’est tout l’enjeu du chapitre.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Probabilité conditionnelle

Définition. Soit $A$ et $B$ deux événements d’une expérience aléatoire, avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.$$ C’est la probabilité que $B$ se réalise quand on sait que $A$ est réalisé.

Conséquence. $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

Ne pas confondre (exemple du test, en choisissant une personne au hasard ; $M$ : « malade », $T$ : « test positif ») :

Faux positifs, faux négatifs. Un faux positif est une personne saine testée positive ($980$ ici) ; un faux négatif, une personne malade testée négative ($10$ ici). Quand la maladie est rare, la plupart des positifs sont des faux positifs : un test positif doit être confirmé.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Arbres pondérés

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. Sur chaque branche, on écrit une probabilité ; à partir de la deuxième étape, ce sont des probabilités conditionnelles.

Règles.

1. La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$.
2. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $P(M \cap T) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019$.
3. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent : $P(T) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}1 = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117$.

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Indépendance de deux événements

Définition. Deux événements $A$ et $B$ (avec $P(A) \neq 0$) sont indépendants si savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ : $P_A(B) = P(B)$. Cela équivaut à $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$$

Exemples.

• On lance deux dés : « le premier donne 6 » et « le second donne 6 » sont indépendants, $P = \dfrac16 \times \dfrac16 = \dfrac{1}{36}$.
• Dans l’exemple du test, $P(T) = 0{,}117$ mais $P_M(T) = 0{,}95$ : $M$ et $T$ ne sont pas indépendants (heureusement pour le test !).

Attention. Indépendants ne veut pas dire incompatibles : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ($P(A \cap B) = 0$) ne sont jamais indépendants.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Répéter des épreuves de Bernoulli

Définition. Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès (probabilité $p$) et échec (probabilité $1 - p$). Lancer une pièce, tester un individu, observer si une graine germe…

Propriété. Quand on répète de façon indépendante une épreuve de Bernoulli, on représente la situation par un arbre où chaque étape a les mêmes probabilités $p$ et $1 - p$ ; la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités.

Exemple. Trois graines germent chacune avec la probabilité $0{,}8$. Notons $G$ : « la graine germe ».

• Les trois germent : $0{,}8^3 = 0{,}512$.
• Aucune ne germe : $0{,}2^3 = 0{,}008$.
• Exactement deux germent : trois chemins ($GG\overline{G}$, $G\overline{G}G$, $\overline{G}GG$), chacun de probabilité $0{,}8^2 \times 0{,}2 = 0{,}128$, soit $3 \times 0{,}128 = 0{,}384$.
• Au moins une germe : $1 - 0{,}008 = 0{,}992$ (événement contraire de « aucune »).

Astuce. Pour « au moins un succès », il est plus rapide de passer par le contraire « aucun succès ».

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

• $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ; $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
• $P(A \cap B)$, $P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont trois nombres différents.
• Arbre : somme $1$ à chaque nœud ; produit le long d’un chemin ; somme des chemins pour un événement.
• Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
• Répétition d’épreuves de Bernoulli indépendantes : arbre, produit des probabilités ; « au moins un » par le contraire.