Première⏱ 50 minutes

Phénomènes aléatoires : probabilités conditionnelles et indépendance — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice non autorisée.

Exercice 1 (6 points) — Automatismes

Réponds directement (1 point par question).

$P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}5$ . Calcule $P(A \cap B)$ .
$P(A \cap B) = 0{,}12$ et $P(A) = 0{,}3$ . Calcule $P_A(B)$ .
Sur un arbre, un nœud a deux branches ; l'une porte $0{,}35$ . Que porte l'autre ?
$A$ et $B$ sont indépendants, $P(A) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}6$ . Calcule $P(A \cap B)$ .
On lance deux fois une pièce équilibrée. Probabilité d'obtenir deux « pile » ?
Parmi $50$ garçons d'une classe, $20$ portent des lunettes. Quelle est la fréquence des porteurs de lunettes parmi les garçons ?

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$0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2$ .
$\dfrac{0{,}12}{0{,}3} = 0{,}4$ .
$1 - 0{,}35 = 0{,}65$ .
$0{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}3$ .
$0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$ .
$\dfrac{20}{50} = 0{,}4 = 40\,\%$ .

Exercice 2 (7 points) — Contrôle antidopage

Lors d'une compétition, $4\,\%$ des athlètes sont dopés. Le contrôle est positif pour $90\,\%$ des athlètes dopés et pour $5\,\%$ des athlètes non dopés. On choisit un athlète au hasard ; $D$ : « il est dopé », $C$ : « le contrôle est positif ».

Construis l'arbre pondéré. (2 points)
Calcule $P(D \cap C)$ , puis montre que $P(C) = 0{,}084$ . (2 points)
Un athlète a un contrôle positif. Calcule la probabilité qu'il soit dopé ; donne le résultat sous forme de fraction irréductible. (2 points)
Pourquoi, dans ce cas, fait-on toujours une contre-expertise ? (1 point)

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Premier niveau : $D$ ( $0{,}04$ ), $\overline{D}$ ( $0{,}96$ ). Après $D$ : $C$ ( $0{,}9$ ), $\overline{C}$ ( $0{,}1$ ). Après $\overline{D}$ : $C$ ( $0{,}05$ ), $\overline{C}$ ( $0{,}95$ ).
$P(D \cap C) = 0{,}04 \times 0{,}9 = 0{,}036$ . $P(C) = 0{,}036 + 0{,}96 \times 0{,}05 = 0{,}036 + 0{,}048 = 0{,}084$ .
$P_C(D) = \dfrac{0{,}036}{0{,}084} = \dfrac{36}{84} = \dfrac37 \approx 0{,}43$ .
Moins d'un contrôle positif sur deux correspond à un athlète réellement dopé : sanctionner sur ce seul résultat toucherait beaucoup d'innocents (faux positifs). La contre-expertise sert à les écarter.

Exercice 3 (4 points) — Tableau et indépendance

Dans une entreprise de $200$ salariés, $120$ viennent en transports en commun et $50$ font du télétravail le vendredi ; $30$ font les deux.

Dresse le tableau croisé. (2 points)
Les événements « venir en transports en commun » et « télétravailler le vendredi » sont-ils indépendants pour un salarié choisi au hasard ? (2 points)

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Télétravail le vendredi Pas de télétravail Total
Transports en commun $30$ $90$ $120$
Autre moyen $20$ $60$ $80$
Total $50$ $150$ $200$
$P(T \cap V) = \dfrac{30}{200} = 0{,}15$ et $P(T) \times P(V) = \dfrac{120}{200} \times \dfrac{50}{200} = 0{,}6 \times 0{,}25 = 0{,}15$ . Les deux nombres sont égaux : les événements sont indépendants.

	Télétravail le vendredi	Pas de télétravail	Total
Transports en commun	$30$	$90$	$120$
Autre moyen	$20$	$60$	$80$
Total	$50$	$150$	$200$

Exercice 4 (3 points) — Tir au but

Une joueuse réussit chaque tir au but avec la probabilité $0{,}7$ , indépendamment des autres tirs. Elle tire $3$ fois.

Quelle est la probabilité qu'elle réussisse les trois tirs ? (1 point)
Quelle est la probabilité qu'elle en rate au moins un ? (1 point)
Quelle est la probabilité qu'elle réussisse exactement deux tirs ? (1 point)

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$0{,}7^3 = 0{,}343$ .
Contraire de « réussir les trois » : $1 - 0{,}343 = 0{,}657$ .
Trois chemins (le tir raté est le 1er, le 2e ou le 3e), chacun de probabilité $0{,}7^2 \times 0{,}3 = 0{,}147$ : $3 \times 0{,}147 = 0{,}441$ .