Première

Analyser l'information chiffrée — Exercices d'application

1. Tableaux croisés d’effectifs

Exercice 1 — ⭐

Un centre de vaccination a accueilli $400$ personnes en une semaine. $240$ avaient moins de $60$ ans ; parmi elles, $90$ venaient pour un rappel. Au total, $220$ personnes venaient pour un rappel ; les autres venaient pour une première dose.

Recopie et complète le tableau croisé.

	Rappel	Première dose	Total
Moins de 60 ans
60 ans et plus
Total			$400$

Calcule la fréquence marginale des personnes venues pour un rappel.
Parmi les personnes de $60$ ans et plus, quelle est la proportion venue pour un rappel ?
Dans un diagramme circulaire de la répartition par âge, quel serait l’angle du secteur « Moins de 60 ans » ?

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Rappel Première dose Total
Moins de 60 ans $90$ $150$ $240$
60 ans et plus $130$ $30$ $160$
Total $220$ $180$ $400$
$\dfrac{220}{400} = 0{,}55 = 55\,\%$ .
$\dfrac{130}{160} = 0{,}8125$ , soit environ $81\,\%$ .
$360° \times \dfrac{240}{400} = 360° \times 0{,}6 = 216°$ .

	Rappel	Première dose	Total
Moins de 60 ans	$90$	$150$	$240$
60 ans et plus	$130$	$30$	$160$
Total	$220$	$180$	$400$

2. Filtrer des données : ET, OU, NON

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Exercice 2 — ⭐⭐

On reprend le tableau corrigé de l’exercice 1. On note $J$ : « a moins de 60 ans » et $R$ : « vient pour un rappel ».

Décris par une phrase le sous-ensemble « $J$ ET $R$ », puis donne son effectif.
Calcule l’effectif de « $J$ OU $R$ » de deux façons : avec la formule du cours, puis en comptant les cases concernées.
Décris « NON $J$ » et donne son effectif.
Dans un tableur, la colonne B contient l’âge (nombre) et la colonne C le motif (« Rappel » ou « Première »), sur les lignes 2 à 401. Écris une formule qui compte les personnes de $60$ ans et plus venues pour une première dose.

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Les personnes de moins de 60 ans venues pour un rappel : $90$ .
Formule : $240 + 220 - 90 = 370$ . En comptant les cases : $90 + 150 + 130 = 370$ (tout sauf la case « 60 ans et plus ET première dose »).
« NON $J$ » : les personnes de 60 ans et plus : $400 - 240 = 160$ .
=NB.SI.ENS(B2:B401;">=60";C2:C401;"Première") (résultat attendu : $30$ ).

3. Nuage de points et point moyen

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Exercice 3 — ⭐

On a mesuré, pour $5$ appartements d’un même quartier, la surface $x$ (en m²) et la consommation d’énergie annuelle $y$ (en MWh).

$x$ (m²)	$30$	$45$	$60$	$75$	$90$
$y$ (MWh)	$4$	$6$	$7$	$9$	$11$

Représente le nuage de points (en abscisse, 1 cm pour 10 m² ; en ordonnée, 1 cm pour 1 MWh).
Calcule les coordonnées du point moyen $G$ et place-le.
Le nuage justifie-t-il un ajustement affine ?

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Les points $(30\,;\,4)$ , $(45\,;\,6)$ , $(60\,;\,7)$ , $(75\,;\,9)$ , $(90\,;\,11)$ sont presque alignés.
$\bar x = \dfrac{30 + 45 + 60 + 75 + 90}{5} = \dfrac{300}{5} = 60$ et $\bar y = \dfrac{4 + 6 + 7 + 9 + 11}{5} = \dfrac{37}{5} = 7{,}4$ : $G(60\,;\,7{,}4)$ .
Oui : le nuage est allongé et régulièrement croissant, un ajustement affine est pertinent.

4. Ajustement affine

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Exercice 4 — ⭐⭐

On reprend les données de l’exercice 3.

Méthode de Mayer : calcule le point moyen $G_1$ des deux premiers points et le point moyen $G_2$ des trois derniers.
Détermine l’équation de la droite $(G_1G_2)$ .
Vérifie qu’elle passe par $G$ .
Interprète le coefficient directeur.

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$G_1\left(\dfrac{30 + 45}{2}\,;\,\dfrac{4 + 6}{2}\right) = (37{,}5\,;\,5)$ et $G_2\left(\dfrac{60 + 75 + 90}{3}\,;\,\dfrac{7 + 9 + 11}{3}\right) = (75\,;\,9)$ .
$a = \dfrac{9 - 5}{75 - 37{,}5} = \dfrac{4}{37{,}5} = \dfrac{8}{75} \approx 0{,}107$ . Avec $G_2$ : $9 = \dfrac{8}{75} \times 75 + b$ , donc $b = 1$ . Droite : $y = \dfrac{8}{75}x + 1$ .
Pour $x = 60$ : $\dfrac{8}{75} \times 60 + 1 = 6{,}4 + 1 = 7{,}4$ : oui, $G$ est sur la droite.
Chaque m² supplémentaire augmente la consommation d’environ $0{,}107$ MWh par an (soit environ $107$ kWh).

Exercice 5 — ⭐⭐

Un tableur donne, pour une série $(x\,;\,y)$ où $x$ est le nombre d’heures de révision et $y$ la note obtenue, la droite de régression $y = 1{,}5x + 6$ . Le point moyen a pour abscisse $\bar x = 5$ .

Calcule $\bar y$ .
Selon ce modèle, quelle note peut espérer un élève qui révise $4$ heures ?
Que prévoit le modèle pour $12$ heures de révision ? Commente.

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La droite de régression passe par $G$ : $\bar y = 1{,}5 \times 5 + 6 = 13{,}5$ .
$1{,}5 \times 4 + 6 = 12$ .
$1{,}5 \times 12 + 6 = 24$ : c’est impossible (note sur $20$ ). L’extrapolation sort du domaine de validité du modèle.

5. Interpoler, extrapoler, rester critique

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Exercice 6 — ⭐⭐

Le niveau moyen de la mer mesuré par un marégraphe est modélisé, pour les années 2000 à 2020, par $y = 3{,}4x + 12$ , où $x$ est le nombre d’années depuis 2000 et $y$ l’écart en millimètres par rapport à un niveau de référence.

Estime $y$ en 2012. Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
Estime $y$ en 2050. Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
Des études indiquent que la hausse du niveau de la mer accélère. L’estimation de 2050 est-elle plutôt trop haute ou trop basse ? Explique.

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$x = 12$ : $y = 3{,}4 \times 12 + 12 = 52{,}8$ mm. C’est une interpolation ( $2012$ est entre $2000$ et $2020$ ).
$x = 50$ : $y = 3{,}4 \times 50 + 12 = 182$ mm. C’est une extrapolation.
Si la hausse accélère, la pente augmente avec le temps ; un modèle affine, à pente constante, sous-estime la hausse future : l’estimation de 2050 est plutôt trop basse.

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Une étude portant sur plusieurs pays constate que le nombre de prix Nobel par habitant est d’autant plus élevé que la consommation de chocolat par habitant est forte (les points du nuage sont presque alignés).

Peut-on conclure que manger du chocolat rend plus performant en sciences ?
Propose un troisième facteur qui pourrait expliquer à la fois les deux grandeurs.
Quel type d’étude faudrait-il mener pour tester un effet causal ?

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Non : une corrélation, même forte, ne prouve pas une causalité.
Par exemple la richesse du pays : les pays riches consomment plus de chocolat et financent davantage la recherche et l’université.
Une étude expérimentale : répartir des personnes au hasard en deux groupes (avec et sans chocolat) et comparer les résultats, toutes choses égales par ailleurs.