Première⏱ 3 séances

Analyser l'information chiffrée

Ce que tu vas apprendre

Construire et lire un tableau croisé d'effectifs, calculer des fréquences marginales
Représenter deux caractères qualitatifs (diagrammes en barres, circulaires)
Décrire un sous-ensemble de données à l'aide de ET, OU, NON et d'un filtre de tableur
Représenter un nuage de points et calculer les coordonnées du point moyen
Déterminer une droite d'ajustement (méthode de Mayer, calculatrice ou tableur) et l'utiliser
Interpoler, extrapoler, et distinguer corrélation et causalité

Notions cléstableau croiséfréquence marginalefiltre ET / OU / NONnuage de pointspoint moyenajustement affineinterpolation, extrapolation

Ce que tu sais déjà. En Seconde, tu as croisé deux caractères dans un tableau et calculé des indicateurs (Seconde — Statistiques descriptives), et tu connais les fonctions affines (Seconde — Fonctions affines). Ici, on s’en sert pour interroger des données réelles : climat, santé, transports, démographie.

1. Tableaux croisés d’effectifs

Définition. Quand on étudie deux caractères qualitatifs sur une même population, on range les effectifs dans un tableau croisé (ou tableau à double entrée) : chaque case compte les individus qui ont une modalité du premier caractère et une modalité du second. La dernière ligne et la dernière colonne donnent les totaux, appelés effectifs marginaux.

Exemple. On a interrogé $200$ lycéens sur leur lieu de vie et leur mode de transport principal.

À pied ou à vélo Bus Voiture Total
Ville $60$ $30$ $10$ $100$
Campagne $10$ $55$ $35$ $100$
Total $70$ $85$ $45$ $200$

$55$ lycéens vivent à la campagne et prennent le bus.

La fréquence marginale des usagers du bus est $\dfrac{85}{200} = 42{,}5\,\%$ .

Parmi les lycéens des villes, la proportion de piétons et cyclistes est $\dfrac{60}{100} = 60\,\%$ : c’est une fréquence conditionnelle (on se restreint à une ligne), que l’on retrouvera dans le chapitre de probabilités.

	À pied ou à vélo	Bus	Voiture	Total
Ville	$60$	$30$	$10$	$100$
Campagne	$10$	$55$	$35$	$100$
Total	$70$	$85$	$45$	$200$

Représenter. Un diagramme en barres groupées compare les modalités d’un caractère à l’intérieur de chaque modalité de l’autre ; un diagramme circulaire montre la répartition d’un seul caractère (une ligne ou la ligne des totaux) : l’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif ( $360° \times$ fréquence).

Les données du tableau croisé en barres groupées : à la campagne, le bus et la voiture dominent ; en ville, la marche et le vélo.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Filtrer des données : ET, OU, NON

Dans une grande base de données (un tableur de plusieurs milliers de lignes), on sélectionne un sous-ensemble d’individus à l’aide de conditions.

Définitions. Si $A$ et $B$ sont deux conditions :

« $A$ ET $B$ » sélectionne les individus qui vérifient les deux conditions (intersection, notée $A \cap B$ ) ;
« $A$ OU $B$ » sélectionne ceux qui vérifient au moins une des deux (réunion, notée $A \cup B$ ) ;
« NON $A$ » sélectionne ceux qui ne vérifient pas $A$ (complémentaire, noté $\overline{A}$ ).

Propriété (comptage). Pour une réunion, on ne compte pas deux fois les individus communs : $\text{effectif}(A \text{ OU } B) = \text{effectif}(A) + \text{effectif}(B) - \text{effectif}(A \text{ ET } B).$

Exemple (tableau précédent). Soit $V$ : « vit en ville » et $B$ : « prend le bus ».

$V$ ET $B$ : $30$ lycéens.

$V$ OU $B$ : $100 + 85 - 30 = 155$ lycéens.

NON $B$ : $200 - 85 = 115$ lycéens.

ET : la zone commune ; OU : tout ce qui est coloré, en ne comptant qu'une fois la zone commune ; NON : ce qui est à l'extérieur.

Au tableur. Le filtre automatique applique des conditions colonne par colonne (elles se combinent par ET). Pour compter sans filtrer, on utilise par exemple =NB.SI.ENS(B2:B201;"Ville";C2:C201;"Bus"), qui compte les lignes vérifiant les deux conditions.

Attention. Dans le langage courant, « ou » est parfois exclusif (« fromage ou dessert ») ; en mathématiques et au tableur, « OU » est inclusif : il accepte les individus qui vérifient les deux conditions.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Nuage de points et point moyen

Quand on étudie deux caractères quantitatifs $x$ et $y$ sur les mêmes individus (ou les mêmes années), on obtient une série statistique à deux variables : des couples $(x_1\,;\,y_1)$ , …, $(x_n\,;\,y_n)$ .

Définitions.

Le nuage de points est l’ensemble des points $M_i(x_i\,;\,y_i)$ placés dans un repère.
Le point moyen est le point $G(\bar x\,;\,\bar y)$ , où $\bar x$ et $\bar y$ sont les moyennes des $x_i$ et des $y_i$ .

Exemple. Concentration de $\text{CO}_2$ dans l’atmosphère mesurée dans une station (valeurs arrondies et simplifiées), $x$ étant le nombre d’années écoulées depuis 2010.

$x$ (années depuis 2010) $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $10$
$y$ (ppm) $390$ $394$ $398$ $403$ $407$ $411$

$\bar x = \dfrac{0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10}{6} = 5$ et $\bar y = \dfrac{2\,403}{6} = 400{,}5$ : $G(5\,;\,400{,}5)$ .

$x$ (années depuis 2010)	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$y$ (ppm)	$390$	$394$	$398$	$403$	$407$	$411$

Lecture d’un nuage. Si les points sont presque alignés, on parle de corrélation linéaire ; s’ils montent, la corrélation est positive ; s’ils ne forment aucune forme, il n’y a pas de lien linéaire apparent.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Ajustement affine

Définition. Quand le nuage a une forme allongée, on peut le résumer par une droite $y = ax + b$ qui passe « au plus près » des points : c’est un ajustement affine. Plusieurs méthodes existent ; le programme n’en impose aucune théorie.

Au jugé : on trace une droite qui passe par $G$ en laissant à peu près autant de points de chaque côté.
Méthode de Mayer : on coupe la série en deux groupes (petites valeurs de $x$ , grandes valeurs de $x$ ), on calcule les points moyens $G_1$ et $G_2$ des deux groupes, et on prend la droite $(G_1G_2)$ . Elle passe aussi par $G$ .
Moindres carrés : c’est la droite que donnent la calculatrice (« régression linéaire ») et le tableur (=DROITEREG(...) ou « courbe de tendance linéaire »). Elle passe elle aussi par $G$ .

📋 Méthode — Droite de Mayer sur l'exemple du CO₂

Groupe 1 ( $x = 0, 2, 4$ ) : $G_1\left(2\,;\,\dfrac{390 + 394 + 398}{3}\right) = (2\,;\,394)$ .
Groupe 2 ( $x = 6, 8, 10$ ) : $G_2\left(8\,;\,\dfrac{403 + 407 + 411}{3}\right) = (8\,;\,407)$ .
Coefficient directeur : $a = \dfrac{407 - 394}{8 - 2} = \dfrac{13}{6} \approx 2{,}17$ .
Ordonnée à l’origine : la droite passe par $G_1$ , donc $394 = \dfrac{13}{6} \times 2 + b$ , d’où $b = 394 - \dfrac{13}{3} \approx 389{,}67$ .
Droite de Mayer : $y \approx 2{,}17x + 389{,}67$ . Vérification : pour $x = 5$ , $y \approx 400{,}5$ : elle passe bien par $G$ .

À la calculatrice, la droite des moindres carrés est $y \approx 2{,}13x + 389{,}86$ : très proche.

Le nuage de points du CO₂, les points moyens G₁, G₂ et G, et la droite de Mayer qui les relie.

Interpréter le coefficient directeur. Ici $a \approx 2{,}1$ : selon ce modèle, la concentration augmente d’environ $2{,}1$ ppm par an.

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

5. Interpoler, extrapoler, rester critique

Définitions. Utiliser la droite d’ajustement pour estimer une valeur :

à l’intérieur de la plage des données, c’est une interpolation ;
en dehors (en particulier dans le futur), c’est une extrapolation.

Exemples (droite de Mayer).

Interpolation : en 2015 ( $x = 5$ ), on estime $y \approx 400{,}5$ ppm.

Extrapolation : en 2030 ( $x = 20$ ), on estime $y \approx 2{,}17 \times 20 + 389{,}67 \approx 433$ ppm, à condition que la tendance reste la même.

Esprit critique.

Une extrapolation lointaine est risquée : rien ne garantit que le phénomène reste linéaire (une croissance peut accélérer, ralentir, saturer).
Corrélation n’est pas causalité : deux grandeurs peuvent évoluer ensemble parce qu’elles dépendent toutes deux d’un troisième facteur. Les ventes de glaces et les coups de soleil augmentent ensemble… à cause de l’ensoleillement.
Un ajustement affine n’a de sens que si le nuage est allongé : il faut regarder le nuage avant de calculer.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

Tableau croisé : effectifs au croisement de deux caractères ; totaux = effectifs marginaux.
ET = les deux conditions ; OU = au moins une (inclusif) ; NON = le contraire. $\text{eff}(A \text{ OU } B) = \text{eff}(A) + \text{eff}(B) - \text{eff}(A \text{ ET } B)$ .
Point moyen $G(\bar x\,;\,\bar y)$ ; les droites de Mayer et des moindres carrés passent par $G$ .
Interpoler est raisonnable ; extrapoler suppose que la tendance continue ; corrélation $\neq$ causalité.