Pourcentages et évolutions

Ce que tu sais déjà. En Seconde, tu as travaillé les proportions, le coefficient multiplicateur et les évolutions successives (Seconde — Proportions, pourcentages et évolutions). Ce chapitre les remet en route : ce sont des automatismes de l’épreuve anticipée (sans calculatrice), et l’outil de base pour lire les chiffres du climat, de la santé ou de l’économie.

1. Proportions et pourcentages

Définition. Si une population de référence compte $N$ individus et qu’une sous-population en compte $n$, la proportion (ou fréquence) de la sous-population est $p = \dfrac{n}{N}$. C’est un nombre entre $0$ et $1$, souvent écrit en pourcentage : $p = 0{,}35 = 35\,\%$.

Propriété. On en déduit $n = p \times N$ : prendre $35\,\%$ d’une quantité, c’est la multiplier par $0{,}35$.

Proportion de proportion. Si une partie $B$ représente une proportion $p_1$ d’un ensemble $A$, et que $A$ représente une proportion $p_2$ d’une population totale, alors $B$ représente la proportion $p_1 \times p_2$ de la population totale.

Exemple. Dans un lycée, $40\,\%$ des élèves sont en Première et, parmi eux, $15\,\%$ suivent la spécialité physique-chimie et SVT à la fois. La proportion d’élèves du lycée concernés est $0{,}40 \times 0{,}15 = 0{,}06$, soit $6\,\%$.

Attention. On n’additionne des pourcentages que s’ils portent sur la même population de référence et sur des parties sans élément commun.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Appliquer un taux d’évolution

Définition. Une grandeur passe d’une valeur de départ $V_D$ à une valeur d’arrivée $V_A$. Augmenter de $t\,\%$, c’est ajouter $\dfrac{t}{100} \times V_D$ ; diminuer de $t\,\%$, c’est en retirer autant.

Propriété (coefficient multiplicateur). Si le taux d’évolution est $t$ (écrit en décimal, positif pour une hausse, négatif pour une baisse), alors $$V_A = (1 + t) \times V_D.$$ Le nombre $c = 1 + t$ est le coefficient multiplicateur.

Exemples.

• Un loyer de $650$ € augmente de $2\,\%$ : $650 \times 1{,}02 = 663$ €.
• Une forêt de $80$ hectares perd $5\,\%$ de sa surface : $80 \times 0{,}95 = 76$ hectares.

Repères. Un coefficient supérieur à 1 traduit une hausse, inférieur à 1 une baisse. « Multiplier par 2 », c’est une hausse de $100\,\%$ ; « multiplier par 3 », une hausse de $200\,\%$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Calculer un taux d’évolution

Propriété. Le taux d’évolution de $V_D$ à $V_A$ (avec $V_D \neq 0$) est $$t = \frac{V_A - V_D}{V_D} = \frac{V_A}{V_D} - 1.$$ On l’exprime ensuite en pourcentage.

Exemple. Les émissions d’un pays passent de $400$ à $340$ millions de tonnes de $\text{CO}_2$ : $t = \dfrac{340 - 400}{400} = -\dfrac{60}{400} = -0{,}15$. Elles ont baissé de $15\,\%$.

Variation absolue et variation relative. La variation absolue est $V_A - V_D$ (ici $-60$ millions de tonnes, dans l’unité de la grandeur) ; la variation relative est le taux $t$ (ici $-15\,\%$, sans unité). Pour comparer des évolutions de grandeurs de tailles très différentes, c’est la variation relative qui compte.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Évolutions successives

Propriété. Si une grandeur subit successivement des évolutions de coefficients $c_1$, $c_2$, …, $c_n$, le coefficient multiplicateur global est le produit $c_1 \times c_2 \times \dots \times c_n$. Le taux global est ce produit moins $1$.

Exemple. Un prix augmente de $10\,\%$ puis baisse de $10\,\%$. Coefficient global : $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$. Le prix a donc baissé de $1\,\%$ : il ne revient pas au prix de départ.

Piège. Les taux ne s’additionnent pas : $+10\,\%$ puis $-10\,\%$ ne donne pas $0\,\%$, et trois hausses de $5\,\%$ ne font pas $15\,\%$ mais $1{,}05^3 - 1 = 0{,}157\,625$, soit environ $15{,}8\,\%$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Évolution réciproque

Définition. L’évolution réciproque d’une évolution de coefficient $c$ est celle qui ramène à la valeur de départ. Son coefficient est $\dfrac{1}{c}$ et son taux est $\dfrac1c - 1$.

Exemples.

• Après une baisse de $20\,\%$ (coefficient $0{,}8$), il faut un coefficient $\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$ pour revenir au départ : une hausse de $25\,\%$, pas de $20\,\%$.
• Après une hausse de $25\,\%$, la baisse réciproque est de coefficient $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$ : $-20\,\%$.
• Un article coûte $54$ € après une hausse de $8\,\%$ : le prix d’avant était $\dfrac{54}{1{,}08} = 50$ €.

À retenir. Pour retrouver une valeur de départ, on divise par le coefficient ; on ne retire pas le même pourcentage.

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Points de pourcentage et indices

Points de pourcentage. Quand une grandeur est elle-même un pourcentage (taux de chômage, part des énergies renouvelables…), on distingue :

• la différence en points de pourcentage : passer de $20\,\%$ à $25\,\%$, c’est +5 points ;
• l’évolution relative : $\dfrac{25 - 20}{20} = 0{,}25$, soit une hausse de $25\,\%$.

Indice base 100. Pour suivre une grandeur dans le temps, on fixe une date de référence où l’indice vaut $100$. L’indice à une autre date est $$I = 100 \times \frac{\text{valeur à cette date}}{\text{valeur à la date de référence}}.$$ Un indice de $118$ signifie une hausse de $18\,\%$ depuis la date de référence ; un indice de $92$, une baisse de $8\,\%$.

Exemple. La production d’électricité solaire d’une région vaut $2{,}5$ TWh en 2020 (base 100) et $4$ TWh en 2025. Indice 2025 : $100 \times \dfrac{4}{2{,}5} = 160$ : hausse de $60\,\%$ en cinq ans.

Attention. Entre deux dates qui ne sont pas la référence, on ne soustrait pas les indices pour obtenir un taux : de l’indice $120$ à l’indice $132$, la hausse est $\dfrac{132}{120} - 1 = 10\,\%$, et non $12\,\%$.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

• Proportion $p = \dfrac nN$ ; proportion de proportion : on multiplie les proportions.
• Évolution de taux $t$ : $V_A = (1 + t)V_D$ ; taux $t = \dfrac{V_A}{V_D} - 1$.
• Évolutions successives : on multiplie les coefficients.
• Évolution réciproque : coefficient $\dfrac1c$.
• Points de pourcentage $\neq$ pourcentage d’évolution ; indice $I = 100 \times \dfrac{V}{V_{\text{réf}}}$.