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Première

Variation instantanée et dérivation — Exercices d'application

1. Taux de variation moyen

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Exercice 1 — ⭐

La température TT (en °C) d’un four est relevée toutes les 55 minutes.

tt (min)0055101015152020
TT (°C)2020110110170170200200210210
  1. Calcule le taux de variation moyen entre 00 et 1010 min, puis entre 1010 et 2020 min. Précise l’unité.
  2. Pendant quel intervalle de 55 minutes la température a-t-elle monté le plus vite ?
Voir le corrigé
  1. 170−2010=15\dfrac{170 - 20}{10} = 15 °C/min ; 210−17010=4\dfrac{210 - 170}{10} = 4 °C/min.
  2. Taux par intervalle : 1818, 1212, 66, 22 °C/min : c’est entre 00 et 55 min.

2. Nombre dérivé et tangente

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Exercice 2 — ⭐⭐

On considère la figure 2 du cours (courbe de ff avec trois tangentes). La tangente au point A(1 ; 1)A(1\,;\,1) passe aussi par (3 ; 5)(3\,;\,5) ; la tangente au sommet B(3 ; 4)B(3\,;\,4) est horizontale ; la tangente au point C(5 ; 1)C(5\,;\,1) passe par (4 ; 3)(4\,;\,3).

  1. Détermine f′(1)f'(1), f′(3)f'(3) et f′(5)f'(5).
  2. Que peut-on dire des variations de ff près de chacun de ces points ?
Voir le corrigé
  1. f′(1)=5−13−1=2f'(1) = \dfrac{5 - 1}{3 - 1} = 2 ; f′(3)=0f'(3) = 0 (tangente horizontale) ; f′(5)=3−14−5=−2f'(5) = \dfrac{3 - 1}{4 - 5} = -2.
  2. Près de AA, ff croît ; en BB, ff atteint un maximum ; près de CC, ff décroît.

Exercice 3 — ⭐⭐

Soit f(x)=x2f(x) = x^2.

  1. Calcule le taux de variation moyen de ff entre 33 et 3+h3 + h pour h=1h = 1, h=0,1h = 0{,}1 et h=0,01h = 0{,}01.
  2. Conjecture la valeur de f′(3)f'(3).
  3. Montre que, pour h≠0h \neq 0, le taux vaut 6+h6 + h. Conclus.
Voir le corrigé
  1. h=1h = 1 : 16−91=7\dfrac{16 - 9}{1} = 7 ; h=0,1h = 0{,}1 : 9,61−90,1=6,1\dfrac{9{,}61 - 9}{0{,}1} = 6{,}1 ; h=0,01h = 0{,}01 : 9,0601−90,01=6,01\dfrac{9{,}0601 - 9}{0{,}01} = 6{,}01.
  2. f′(3)=6f'(3) = 6.
  3. (3+h)2−9h=6h+h2h=6+h\dfrac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h, qui se rapproche de 66 quand hh se rapproche de 00 : f′(3)=6f'(3) = 6 (en accord avec (x2)′=2x(x^2)' = 2x).

3. Fonction dérivée d’un polynôme

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Exercice 4 — ⭐

Calcule la dérivée de chaque fonction.

  1. f(x)=5x2+2x−9f(x) = 5x^2 + 2x - 9
  2. g(x)=−x3+4xg(x) = -x^3 + 4x
  3. h(x)=0,5x3−1,5x2+7h(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x^2 + 7
  4. k(t)=100−4,9t2k(t) = 100 - 4{,}9t^2
  5. m(x)=3(x2−1)m(x) = 3(x^2 - 1)
Voir le corrigé
  1. f′(x)=10x+2f'(x) = 10x + 2.
  2. g′(x)=−3x2+4g'(x) = -3x^2 + 4.
  3. h′(x)=1,5x2−3xh'(x) = 1{,}5x^2 - 3x.
  4. k′(t)=−9,8tk'(t) = -9{,}8t.
  5. m(x)=3x2−3m(x) = 3x^2 - 3, donc m′(x)=6xm'(x) = 6x.

4. Signe de la dérivée et variations

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Exercice 5 — ⭐⭐

Soit f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x - 5 sur [0 ; 6][0\,;\,6].

  1. Calcule f′(x)f'(x) et étudie son signe.
  2. Dresse le tableau de variations de ff (avec les images aux bornes).
  3. Quel est le maximum de ff ?
Voir le corrigé
  1. f′(x)=−2x+6f'(x) = -2x + 6 ; f′(x)>0  ⟺  x<3f'(x) > 0 \iff x < 3 : positive sur [0 ; 3[[0\,;\,3[, nulle en 33, négative sur ]3 ; 6]]3\,;\,6].
  2. ff croît de f(0)=−5f(0) = -5 à f(3)=4f(3) = 4, puis décroît jusqu’à f(6)=−5f(6) = -5.
  3. Le maximum est 44, atteint en x=3x = 3.

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Soit g(x)=x3−12xg(x) = x^3 - 12x sur [−3 ; 4][-3\,;\,4].

  1. Calcule g′(x)g'(x) et montre que g′(x)=3(x−2)(x+2)g'(x) = 3(x - 2)(x + 2).
  2. Étudie le signe de g′(x)g'(x) et dresse le tableau de variations de gg.
  3. Combien de fois la courbe de gg coupe-t-elle la droite y=10y = 10 sur [−3 ; 4][-3\,;\,4] ?
Voir le corrigé
  1. g′(x)=3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)g'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2).
  2. Racines −2-2 et 22, a=3>0a = 3 > 0 : g′>0g' > 0 sur [−3 ; −2[[-3\,;\,-2[ et ]2 ; 4]]2\,;\,4], g′<0g' < 0 sur ]−2 ; 2[]-2\,;\,2[. g(−3)=9g(-3) = 9, g(−2)=16g(-2) = 16, g(2)=−16g(2) = -16, g(4)=16g(4) = 16. gg croît de 99 à 1616, décroît de 1616 à −16-16, puis croît de −16-16 à 1616.
  3. Sur [−3 ; −2][-3\,;\,-2], gg va de 99 à 1616 : elle passe une fois par 1010. Sur [−2 ; 2][-2\,;\,2], de 1616 à −16-16 : une fois. Sur [2 ; 4][2\,;\,4], de −16-16 à 1616 : une fois. Soit trois points d’intersection.

5. Interpréter la dérivée

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Une entreprise fabrique entre 00 et 8080 vélos par jour. Le coût de production (en euros) de qq vélos est C(q)=0,2q2+10q+300C(q) = 0{,}2q^2 + 10q + 300 et chaque vélo est vendu 3030 €.

  1. Calcule C′(q)C'(q). Que vaut le coût marginal pour q=40q = 40 ? Interprète.
  2. Montre que le bénéfice est B(q)=−0,2q2+20q−300B(q) = -0{,}2q^2 + 20q - 300.
  3. Étudie les variations de BB sur [0 ; 80][0\,;\,80] et détermine la production qui maximise le bénéfice, ainsi que ce bénéfice.
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  1. C′(q)=0,4q+10C'(q) = 0{,}4q + 10 ; C′(40)=26C'(40) = 26 : produire un 4141ᵉ vélo coûte environ 2626 € de plus.
  2. B(q)=30q−C(q)=30q−0,2q2−10q−300=−0,2q2+20q−300B(q) = 30q - C(q) = 30q - 0{,}2q^2 - 10q - 300 = -0{,}2q^2 + 20q - 300.
  3. B′(q)=−0,4q+20B'(q) = -0{,}4q + 20, positive pour q<50q < 50 et négative pour q>50q > 50. BB croît sur [0 ; 50][0\,;\,50] et décroît sur [50 ; 80][50\,;\,80] : le bénéfice est maximal pour 5050 vélos par jour, et vaut B(50)=−500+1 000−300=200B(50) = -500 + 1\,000 - 300 = 200 €. (C’est exactement là que le coût marginal égale le prix de vente : C′(50)=30C'(50) = 30.)