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Première⏱ 50 minutes

Variation instantanée et dérivation — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice non autorisée.

Exercice 1 (6 points) — Automatismes

Réponds directement (1 point par question).

  1. Dérive f(x)=3x2−5x+1f(x) = 3x^2 - 5x + 1.
  2. Dérive g(x)=2x3g(x) = 2x^3.
  3. La tangente à une courbe en un point passe par (0 ; 1)(0\,;\,1) et (2 ; 7)(2\,;\,7). Quel est le nombre dérivé en ce point ?
  4. f′(x)=−2f'(x) = -2 pour tout xx : ff est-elle croissante ou décroissante ?
  5. Taux de variation moyen de x↦x2x \mapsto x^2 entre 11 et 33 ?
  6. Résous 4x−8>04x - 8 > 0.
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  1. f′(x)=6x−5f'(x) = 6x - 5.
  2. g′(x)=6x2g'(x) = 6x^2.
  3. 7−12−0=3\dfrac{7 - 1}{2 - 0} = 3.
  4. Décroissante (f′<0f' < 0).
  5. 9−13−1=4\dfrac{9 - 1}{3 - 1} = 4.
  6. x>2x > 2.

Exercice 2 (7 points) — Plongeon

Un plongeur saute d'un tremplin. Sa hauteur au-dessus de l'eau (en m) au bout de tt secondes est h(t)=−5t2+5t+10h(t) = -5t^2 + 5t + 10, pour t∈[0 ; 2]t \in [0\,;\,2].

  1. Calcule h(0)h(0) et h(2)h(2). Interprète. (1 point)
  2. Calcule la vitesse moyenne de variation de la hauteur entre t=0t = 0 et t=1t = 1. (1 point)
  3. Calcule h′(t)h'(t), puis h′(0)h'(0) et h′(1,5)h'(1{,}5). Interprète le signe de ces deux nombres. (2 points)
  4. Étudie les variations de hh sur [0 ; 2][0\,;\,2] et donne la hauteur maximale atteinte. (3 points)
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  1. h(0)=10h(0) = 10 : le tremplin est à 1010 m. h(2)=−20+10+10=0h(2) = -20 + 10 + 10 = 0 : il entre dans l'eau au bout de 22 s.
  2. h(1)−h(0)1−0=10−101=0\dfrac{h(1) - h(0)}{1 - 0} = \dfrac{10 - 10}{1} = 0 m/s : en moyenne, sur la première seconde, la hauteur n'a pas changé (il est monté puis redescendu au même niveau).
  3. h′(t)=−10t+5h'(t) = -10t + 5. h′(0)=5>0h'(0) = 5 > 0 : au départ, il monte (à 55 m/s). h′(1,5)=−10<0h'(1{,}5) = -10 < 0 : à 1,51{,}5 s, il descend (à 1010 m/s).
  4. h′(t)>0  ⟺  t<0,5h'(t) > 0 \iff t < 0{,}5. hh croît sur [0 ; 0,5][0\,;\,0{,}5] et décroît sur [0,5 ; 2][0{,}5\,;\,2]. Hauteur maximale : h(0,5)=−1,25+2,5+10=11,25h(0{,}5) = -1{,}25 + 2{,}5 + 10 = 11{,}25 m.

Exercice 3 (7 points) — Étude d'une fonction de degré 3

Soit f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 sur [0 ; 5][0\,;\,5].

  1. Calcule f′(x)f'(x) et vérifie que f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3(x - 1)(x - 3). (2 points)
  2. Dresse le tableau de signes de f′(x)f'(x) puis le tableau de variations de ff sur [0 ; 5][0\,;\,5]. (3 points)
  3. Quel est le maximum de ff sur [0 ; 5][0\,;\,5] ? Où est-il atteint ? (2 points)
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  1. f′(x)=3x2−12x+9=3(x2−4x+3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) ; or (x−1)(x−3)=x2−4x+3(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3, donc f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3(x - 1)(x - 3).

  2. f′f' est un polynôme de degré 2 de racines 11 et 33, avec a=3>0a = 3 > 0 : positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.

    xx00113355
    Signe de f′(x)f'(x)++00−-00++
    Variations de ff11↗55↘11↗2121

    (f(0)=1f(0) = 1, f(1)=1−6+9+1=5f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5, f(3)=27−54+27+1=1f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1, f(5)=125−150+45+1=21f(5) = 125 - 150 + 45 + 1 = 21.)

  3. Les valeurs « hautes » du tableau sont 55 (en x=1x = 1) et 2121 (en x=5x = 5) : le maximum de ff sur [0 ; 5][0\,;\,5] est 2121, atteint en x=5x = 5. (55 n'est qu'un maximum local.)