Variation instantanée et dérivation

Ce que tu sais déjà. Tu sais calculer le coefficient directeur d’une droite et le taux d’accroissement d’une fonction affine (Modéliser une variation linéaire), et lire un tableau de variations (Seconde — Variations et extremums). Pour une fonction qui n’est pas affine, la « vitesse de variation » change à chaque instant : c’est ce que mesure la dérivée.

1. Taux de variation moyen

Définition. Le taux de variation moyen d’une fonction $f$ entre $a$ et $b$ ($a \neq b$) est $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$ C’est le coefficient directeur de la sécante passant par les points de la courbe d’abscisses $a$ et $b$.

Exemple. Un cycliste parcourt $d(t) = 0{,}5t^2$ mètres en $t$ secondes (départ arrêté). Entre $t = 2$ et $t = 6$ : $\dfrac{d(6) - d(2)}{6 - 2} = \dfrac{18 - 2}{4} = 4$ m/s. C’est sa vitesse moyenne sur cet intervalle.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Nombre dérivé et tangente

Idée. Pour connaître la vitesse à l’instant $t = 2$, on calcule la vitesse moyenne sur des intervalles de plus en plus courts : $[2\,;\,3]$, $[2\,;\,2{,}1]$, $[2\,;\,2{,}01]$…

Ces valeurs se rapprochent de $2$ : la vitesse instantanée à $t = 2$ est $2$ m/s. Graphiquement, les sécantes se rapprochent d’une droite limite : la tangente à la courbe au point d’abscisse $2$.

Définition. Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$. Il mesure la variation instantanée de $f$ en $a$.

Lecture graphique. Si la tangente passe par deux points lisibles, $f'(a) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ sur la tangente. Une tangente horizontale correspond à $f'(a) = 0$.

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Fonction dérivée d’un polynôme

Définition. La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f'$ qui, à chaque $x$, associe le nombre dérivé $f'(x)$.

Dérivées de référence (admises).

Règles de calcul. Pour des fonctions $u$ et $v$ et un réel $k$ :

• la dérivée d’une somme est la somme des dérivées : $(u + v)' = u' + v'$ ;
• la dérivée de $k \times u$ est $k \times u'$.

Exemples.

• $f(x) = 4x^2 - 3x + 7$ : $f'(x) = 4 \times 2x - 3 \times 1 + 0 = 8x - 3$.
• $g(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5$ : $g'(x) = 6x^2 - 12x$.
• $d(t) = 0{,}5t^2$ : $d'(t) = t$ ; à $t = 2$, $d'(2) = 2$ m/s, comme trouvé au § 2.

Remarque. Une fonction affine $f(x) = mx + p$ a pour dérivée $f'(x) = m$ : sa variation instantanée est constante, égale à son coefficient directeur.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Signe de la dérivée et variations

Propriété (admise). Sur un intervalle :

• si $f'(x) > 0$ (sauf éventuellement en quelques points), $f$ est croissante ;
• si $f'(x) < 0$ (sauf éventuellement en quelques points), $f$ est décroissante.

Là où $f'$ s’annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum (maximum ou minimum local).

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

5. Interpréter la dérivée

La dérivée mesure une vitesse de variation, avec pour unité « unité de $f$ par unité de $x$ ».

Exemple (optimisation). On découpe dans une plaque carrée de $30$ cm de côté quatre carrés de côté $x$ aux coins, puis on replie pour former une boîte sans couvercle. Son volume est $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$, pour $0 < x < 15$. $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 12(x - 5)(x - 15)$ : sur $]0\,;\,15[$, $V'$ est positive avant $5$ et négative après. Le volume est maximal pour $x = 5$ cm : $V(5) = 5 \times 20^2 = 2\,000$ cm³.

→ S’entraîner : Exercice 7

À retenir.

• Taux de variation moyen $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ = pente d’une sécante ; nombre dérivé $f'(a)$ = pente de la tangente.
• $(k)' = 0$, $(x)' = 1$, $(x^2)' = 2x$, $(x^3)' = 3x^2$ ; on dérive terme à terme, les coefficients restent.
• $f' > 0$ : $f$ croissante ; $f' < 0$ : $f$ décroissante ; $f'$ s’annule en changeant de signe : extremum.
• $f'$ est une vitesse de variation : vitesse, coût marginal, vitesse de réaction.