Volumes du pavé droit — Exercices d'application

Contrairement aux longueurs (facteur $10$) ou aux aires (facteur $100$), les unités de volume se convertissent avec un facteur $1\,000$ entre deux unités consécutives, car un volume dépend de trois dimensions à la fois.

1. Pour passer des $\text{dm}^3$ (unité plus grande) aux $\text{cm}^3$ (unité plus petite), on multiplie par $1\,000$ : $4\,\text{dm}^3 = 4 \times 1\,000 = 4\,000\,\text{cm}^3$.
2. Pour passer des $\text{cm}^3$ aux $\text{m}^3$ (deux rangs d’écart), on divise par $1\,000 \times 1\,000 = 1\,000\,000$ : $6\,000\,000\,\text{cm}^3 = 6\,000\,000 \div 1\,000\,000 = 6\,\text{m}^3$.
3. Pour passer des $\text{m}^3$ aux $\text{dm}^3$, on multiplie par $1\,000$ : $2{,}5\,\text{m}^3 = 2{,}5 \times 1\,000 = 2\,500\,\text{dm}^3$.

1. Le volume d’un pavé droit se calcule avec la formule $V = L \times \ell \times h$. Ici : $V = 10 \times 6 \times 4 = 240\,\text{cm}^3$.
2. Le volume d’un cube se calcule avec la formule $V = c \times c \times c = c^3$. Ici : $V = 5 \times 5 \times 5 = 125\,\text{cm}^3$.
3. On repart de la formule du pavé droit, avec la hauteur $h$ comme inconnue : $9 \times 5 \times h = 180$. On simplifie d’abord le produit connu : $45 \times h = 180$. On isole ensuite $h$ en divisant les deux côtés par $45$ : $h = 180 \div 45 = 4\,\text{cm}$.

Ces conversions reposent toutes sur l’égalité fondamentale $1\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3$ (et donc $1\,\text{mL} = 1\,\text{cm}^3$).

1. Comme $1\,\text{dm}^3$ équivaut exactement à $1\,\text{L}$, on a directement : $3{,}2\,\text{dm}^3 = 3{,}2\,\text{L}$.
2. On convertit d’abord les litres en $\text{dm}^3$ (conversion directe), puis les $\text{dm}^3$ en $\text{cm}^3$ (facteur $1\,000$) : $1{,}5\,\text{L} = 1{,}5\,\text{dm}^3 = 1\,500\,\text{cm}^3$.
3. On convertit d’abord les centilitres en litres ($75\,\text{cL} = 0{,}75\,\text{L}$), puis en $\text{dm}^3$ (conversion directe), puis en $\text{cm}^3$ (facteur $1\,000$) : $75\,\text{cL} = 0{,}75\,\text{L} = 0{,}75\,\text{dm}^3 = 750\,\text{cm}^3$.

1. On applique la formule du volume du pavé droit, $V = L \times \ell \times h$ : $V = 80 \times 35 \times 45 = 126\,000\,\text{cm}^3$.
2. Comme $1\,\text{L} = 1\,000\,\text{cm}^3$, on divise par $1\,000$ pour convertir : $126\,000\,\text{cm}^3 = 126\,\text{L}$.
3. Remplir l’aquarium « aux trois quarts de sa hauteur » signifie que l’eau occupe $\dfrac{3}{4}$ du volume total (puisque la longueur et la largeur restent les mêmes, la quantité d’eau est proportionnelle à la hauteur remplie). On calcule donc les trois quarts de $126\,\text{L}$ : une part (un quart) vaut $126 \div 4 = 31{,}5\,\text{L}$, et trois parts valent $31{,}5 \times 3 = 94{,}5\,\text{L}$.

1. On applique la formule du volume du pavé droit : $V = 6 \times 2{,}4 \times 2{,}5 = 36\,\text{m}^3$.
2. Il faut d’abord convertir l’arête du carton en mètres, pour rester dans la même unité que le container : $50\,\text{cm} = 0{,}5\,\text{m}$. Le volume d’un carton cubique est alors $V = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125\,\text{m}^3$.
3. En divisant le volume du container par le volume d’un carton, on obtient le nombre maximal théorique de cartons : $36 \div 0{,}125 = 288$ cartons. Ce calcul suppose qu’aucun espace n’est perdu, ce qui n’est en réalité pas toujours possible.
4. Pour connaître le nombre réel de cartons, il faut examiner chaque dimension séparément, car des cartons entiers ne peuvent être rangés que si la dimension du container est un multiple de leur taille. Le long de la longueur : $6 \div 0{,}5 = 12$ cartons (exactement). Le long de la largeur : $2{,}4 \div 0{,}5 = 4{,}8$ : comme on ne peut pas couper un carton, seulement $4$ cartons entiers tiennent, avec un peu d’espace inutilisé. Le long de la hauteur : $2{,}5 \div 0{,}5 = 5$ cartons (exactement). En multipliant ces trois nombres de cartons empilables dans chaque direction : $12 \times 4 \times 5 = 240$ cartons. Ce nombre réel ($240$) est bien inférieur au nombre théorique de la question 3 ($288$), car la largeur du container ne se divise pas exactement par la taille des cartons, laissant un espace inutilisé.