Volumes du pavé droit

1. Le volume et ses unités

Définition. Le volume d’un solide mesure la place qu’il occupe dans l’espace. L’unité de base est le mètre cube ($\text{m}^3$), mais on utilise aussi le centimètre cube ($\text{cm}^3$), le décimètre cube ($\text{dm}^3$)…

Propriété. Entre deux unités de volume consécutives (par exemple $\text{cm}^3$ et $\text{dm}^3$), le facteur de conversion est $1\,000$, car une unité de volume correspond à un cube, dans les trois dimensions.

Exemple. $1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3$, et $1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{dm}^3 = 1\,000\,000\,\text{cm}^3$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Le volume du pavé droit et du cube

Propriété. Le volume d’un pavé droit de longueur $L$, de largeur $\ell$ et de hauteur $h$ vaut $V = L \times \ell \times h$. Le volume d’un cube d’arête $c$ vaut $V = c \times c \times c = c^3$.

Exemple. Un pavé droit de dimensions $8\,\text{cm} \times 5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}$ a pour volume $V = 8 \times 5 \times 3 = 120\,\text{cm}^3$. Un cube d’arête $4\,\text{cm}$ a pour volume $V = 4 \times 4 \times 4 = 64\,\text{cm}^3$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Volumes et contenances : le litre

Définition. La contenance d’un récipient s’exprime en litres ($\text{L}$). Le litre est directement lié au décimètre cube.

Propriété. $1\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3$, donc $1\,\text{mL} = 1\,\text{cm}^3$.

Exemple. Un aquarium en forme de pavé droit de $50\,\text{cm} \times 30\,\text{cm} \times 40\,\text{cm}$ a un volume de $50 \times 30 \times 40 = 60\,000\,\text{cm}^3$, soit $60\,000\,\text{mL} = 60\,\text{L}$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Résoudre un problème de volume

Remarque — Remplir partiellement un récipient. Si un récipient en forme de pavé droit n’est rempli que jusqu’à une certaine fraction (ou un certain pourcentage) de sa hauteur, la longueur et la largeur du liquide restent les mêmes que celles du récipient : seule la hauteur change. Le volume de liquide versé est donc cette même fraction (ou ce même pourcentage) du volume total du récipient.

Exemple. Un bac de rangement plein a un volume de $40\,\text{L}$. On ne le remplit qu’aux $\dfrac{2}{5}$ de sa hauteur : le volume rempli vaut $\dfrac{2}{5}$ du volume total, soit $40 \times \dfrac{2}{5} = 16\,\text{L}$.

→ S’entraîner : Exercice 4